Étape 1
Pour tout réel $x > 0$, la fonction $g$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$. Sa fonction dérivée est donnée par : $$g'(x) = 1 - \frac{k}{x^2} = \frac{x^2 - k}{x^2}$$
Étape 2
Comme $x > 0$ et $k > 0$, le dénominateur $x^2$ est strictement positif. Le signe de $g'(x)$ est donc le même que celui du numérateur $x^2 - k$. Sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, l'équation $x^2 - k = 0$ admet une unique solution : $x = \sqrt{k}$.
Étape 3
Pour $x \in ]0 ; \sqrt{k}[$, $x^2 - k < 0$ donc $g'(x) < 0$. La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]0 ; \sqrt{k}]$. Pour $x \in ]\sqrt{k} ; +\infty[$, $x^2 - k > 0$ donc $g'(x) > 0$. La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[\sqrt{k} ; +\infty[$.
Étape 4
On en déduit que la fonction $g$ admet un minimum absolu sur $]0 ; +\infty[$ atteint en $x = \sqrt{k}$.
Étape 5
Exprimons la valeur de ce minimum en fonction de $k$ : $$g(\sqrt{k}) = \sqrt{k} + \frac{k}{\sqrt{k}} + 5 = \sqrt{k} + \sqrt{k} + 5 = 2\sqrt{k} + 5$$
Étape 6
D'après l'énoncé, ce coût unitaire minimal est égal à $21$ euros. On résout donc l'équation : $$2\sqrt{k} + 5 = 21$$ Ce qui équivaut successivement à : $$2\sqrt{k} = 16$$ $$\sqrt{k} = 8$$ $$k = 8^2 = 64$$
Méthode clé
Pour déterminer le paramètre assurant un extremum donné, on dérive la fonction, on étudie son signe pour exprimer l'extremum en fonction du paramètre, puis on résout l'équation liant cet extremum à la valeur cible.
Piège à éviter
Ne pas confondre l'abscisse $x$ où le minimum est atteint et la valeur minimale $g(x)$ elle-même.
