Exercice : Calcul de dérivées et étude de variations

Étape 1

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[1 ; 10]$ comme somme de fonctions dérivables. En utilisant la formule de dérivation de $\frac{1}{x}$, on obtient pour tout $x \in [1 ; 10]$ :$$f'(x) = 1 - \frac{k}{x^2}$$

Étape 2

Le coût moyen est minimal pour $x = 5$. Par conséquent, la dérivée $f'$ s'annule en $x = 5$, ce qui donne l'équation :$$f'(5) = 0$$

Étape 3

On remplace $x$ par $5$ dans l'expression de la dérivée :$$1 - \frac{k}{5^2} = 0$$$$1 - \frac{k}{25} = 0$$Ce qui équivaut à $\frac{k}{25} = 1$, d'où $k = 25$.

Étape 4

Vérification : Pour $k = 25$, on a $f'(x) = 1 - \frac{25}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}$. Sur l'intervalle $[1 ; 5]$, $f'(x) \le 0$ donc $f$ est décroissante, et sur $[5 ; 10]$, $f'(x) \ge 0$ donc $f$ est croissante. Le coût moyen admet bien un minimum en $x = 5$.