Exercice : Calcul de dérivées et étude de variations

Étape 1

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 3)(x^2 + 1)$.

Étape 2

Elle est sous la forme d'un produit $f = u \times v$ avec :$$u(x) = 2x - 3 \quad \text{donc} \quad u'(x) = 2$$$$v(x) = x^2 + 1 \quad \text{donc} \quad v'(x) = 2x$$

Étape 3

D'après la formule de dérivation d'un produit, on a :$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Étape 4

Pour tout réel $x$, on exprime $f'(x)$ :$$f'(x) = 2(x^2 + 1) + (2x - 3)(2x)$$

Étape 5

On évalue ensuite la fonction dérivée en $x = 2$ :$$f'(2) = 2(2^2 + 1) + (2 \times 2 - 3)(2 \times 2)$$$$f'(2) = 2(5) + 1(4) = 14$$