Étape 1
Pour déterminer le minimum de la fonction $f$, on commence par transformer l'expression de $f(x)$ en complétant le carré.
Étape 2
On factorise d'abord par $2$ dans les termes contenant la variable $x$ : $$f(x) = 2(x^2 - 6x) + k$$
Étape 3
On reconnaît le début du développement d'un carré parfait. En utilisant l'identité $x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$ avec $a = 3$, on obtient : $$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$
Étape 4
En substituant cette égalité dans l'expression de $f(x)$, il vient : $$f(x) = 2
\left((x - 3)^2 - 9\right) + k$$ $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + k$$
Étape 5
Pour tout réel $x$, un carré est toujours positif ou nul, soit $(x - 3)^2 \geq 0$, d'où $2(x - 3)^2 \geq 0$. On en déduit que : $$f(x) \geq k - 18$$ L'égalité est atteinte lorsque $x - 3 = 0$, c'est-à-dire pour $x = 3$. Le minimum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc égal à $k - 18$.
Étape 6
On cherche la valeur du réel $k$ telle que ce minimum soit égal à $-5$. On résout l'équation : $$k - 18 = -5$$ Ce qui équivaut à $k = -5 + 18$, soit $k = 13$.
Méthode clé
Mettre le trinôme sous la forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$ grâce à la méthode de complétion du carré pour en déduire son extremum.
Piège à éviter
Oublier de distribuer le facteur $2$ sur la constante $-9$ lors du développement du crochet.
