Exercice : Forme canonique, discriminant & racines

Étape 1

Un polynôme du second degré $f_k(x) = ax^2 + bx + c$ conserve un signe constant sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son discriminant $\Delta$ est strictement négatif. Dans ce cas, il est du signe de son coefficient $a$ pour tout réel $x$.

Étape 2

Ici, les coefficients sont $a = 2$, $b = -12$ et $c = k$. Le coefficient $a = 2$ étant strictement positif, la condition $f_k(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ équivaut à :$$\Delta < 0$$

Étape 3

Calculons le discriminant $\Delta$ en fonction de $k$ :$$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times 2 \times k = 144 - 8k$$

Étape 4

Résolvons l'inéquation $\Delta < 0$ :$$144 - 8k < 0$$Ce qui équivaut à :$$8k > 144$$Soit, en divisant par $8$ :$$k > 18$$

Étape 5

Pour $k = 18$, le discriminant est nul et le polynôme s'annule en $x = 3$. La condition d'être strictement positif sur $\mathbb{R}$ nécessite donc que $k$ soit strictement supérieur à $18$. Le plus petit nombre entier vérifiant cette condition est $19$.