Exercice : Forme canonique, discriminant & racines

Étape 1

On sait que pour tout réel $x$, la forme factorisée peut se développer ainsi : $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right)$$

Étape 2

En remplaçant la somme $x_1 + x_2 = 4$ et le produit $x_1 x_2 = -5$, l'expression devient : $$f(x) = a\left(x^2 - 4x - 5\right) = a x^2 - 4a x - 5a$$

Étape 3

Par identification avec l'expression initiale $f(x) = a x^2 + 12x + k$, les coefficients du terme en $x$ doivent être égaux, d'où $-4a = 12$, ce qui donne $a = -3$.

Étape 4

De même, par identification des termes constants, on a $k = -5a$. En substituant $a$ par $-3$, on obtient $k = -5 \times (-3) = 15$.