Exercice géométrie repérée, équation de cercle, forme canonique — Équations cartésiennes de cercles (1ère Spécialité)

★★ Avancé

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x; y)$ vérifiant l'équation :

$$x^2 + y^2 - 6x + 4y + k = 0$$

où $k$ est un nombre réel.

Sachant que cet ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle de rayon $5$, déterminer la valeur du réel $k$.

Saisir la valeur du réel $k$.

✓

Réponse finale

-12

Étape 1

On cherche à reconnaître l'équation d'un cercle en transformant l'expression sous forme canonique.

Étape 2

On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$ : $$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + k = 0$$

Étape 3

On reconnaît les débuts de développements d'identités remarquables : $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ et $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$.

Étape 4

En remplaçant dans l'équation, on obtient : $$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + k = 0$$ ce qui équivaut à : $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 - k$$

Étape 5

Cette équation est celle d'un cercle de centre $\Omega(3; -2)$ et de rayon $R$ tel que $R^2 = 13 - k$, à condition que $13 - k > 0$.

Étape 6

L'énoncé indique que le rayon du cercle est égal à $5$. On a donc : $$R^2 = 5^2 = 25$$

Étape 7

On en déduit l'équation en $k$ : $$13 - k = 25$$ d'où $k = 13 - 25 = -12$.

Méthode clé

Forme canonique d'une équation de cercle : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, où $(a; b)$ sont les coordonnées du centre et $R$ est le rayon.

Piège à éviter

Oublier de mettre le rayon au carré ($R^2 = 25$ et non $5$) lors de l'identification du terme constant.

Exercice : Équations cartésiennes de cercles