Exercice : Équations cartésiennes de cercles

Étape 1

Première étape : Détermination du rayon et de l'équation du cercle $\mathcal{C}$.

Étape 2

Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $\Omega(3; 4)$ et passe par le point $A(-3; 12)$. Le carré du rayon $R$ du cercle est égal à la distance $\Omega A^2$ :

Étape 3

$$R^2 = (x_A - x_\Omega)^2 + (y_A - y_\Omega)^2$$

Étape 4

$$R^2 = (-3 - 3)^2 + (12 - 4)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

Étape 5

L'équation cartésienne du cercle $\mathcal{C}$ est donc :

Étape 6

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 100$$

Étape 7

Deuxième étape : Intersection du cercle avec la droite $d_k$.

Étape 8

Les coordonnées des points d'intersection $M$ et $N$ sont les solutions du système formé par l'équation du cercle et celle de la droite $y = k$ :

Étape 9

$$(x - 3)^2 + (k - 4)^2 = 100$$

Étape 10

Ce qui donne :

Étape 11

$$(x - 3)^2 = 100 - (k - 4)^2$$

Étape 12

Pour que la droite coupe le cercle en deux points distincts, il faut que $100 - (k - 4)^2 > 0$. Les abscisses $x_1$ et $x_2$ des points $M$ et $N$ sont alors :

Étape 13

$$x_1 = 3 - \sqrt{100 - (k - 4)^2} \quad \text{et} \quad x_2 = 3 + \sqrt{100 - (k - 4)^2}$$

Étape 14

Troisième étape : Exploitation de la longueur $MN = 16$.

Étape 15

La droite $d_k$ étant horizontale, la distance $MN$ est égale à la différence des abscisses $x_2 - x_1$ :

Étape 16

$$MN = x_2 - x_1 = 2\sqrt{100 - (k - 4)^2}$$

Étape 17

On sait que $MN = 16$, ce qui conduit à l'équation :

Étape 18

$$2\sqrt{100 - (k - 4)^2} = 16$$

Étape 19

En divisant par $2$ de chaque côté :

Étape 20

$$\sqrt{100 - (k - 4)^2} = 8$$

Étape 21

En élevant au carré :

Étape 22

$$100 - (k - 4)^2 = 64$$

Étape 23

$$(k - 4)^2 = 100 - 64 = 36$$

Étape 24

Les solutions de cette équation sont $k - 4 = 6$ ou $k - 4 = -6$, c'est-à-dire $k = 10$ ou $k = -2$.

Étape 25

D'après l'énoncé, $k$ doit être strictement supérieur à $4$. On conserve donc uniquement $k = 10$.