Étape 1
Un cercle de centre $A(a ; b)$ et de rayon $R$ possède une équation cartésienne sous la forme réduite : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$
Étape 2
Transformons l'équation donnée $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$ pour la mettre sous forme réduite. On regroupe d'abord les termes en $x$ et les termes en $y$ : $$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + k = 0$$
Étape 3
On reconnaît les débuts d'identités remarquables : $$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$$ $$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$$
Étape 4
En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : $$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + k = 0$$
Étape 5
Ce qui équivaut à : $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + k = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13 - k$$
Étape 6
Cette équation est celle d'un cercle de centre $A(2 ; -3)$ et de rayon $R$ tel que $R^2 = 13 - k$.
Étape 7
L'énoncé indique que le rayon du cercle est $R = 3$, d'où $R^2 = 3^2 = 9$.
Étape 8
On en déduit l'équation en $k$ : $$13 - k = 9$$ D'où : $$k = 13 - 9 = 4$$
Méthode clé
Mettre l'équation sous la forme canonique $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ en identifiant les débuts d'identités remarquables $x^2 - 2ax$ et $y^2 - 2by$.
Piège à éviter
Oublier de retrancher le carré des constantes $a^2$ et $b^2$ lors de la complétion des carrés, ou confondre le rayon $R$ avec son carré $R^2$.
