Exercice : Équations cartésiennes de cercles

★ Standard Réussi

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x; y)$ vérifiant l'équation :

$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$

En réduisant cette équation sous sa forme canonique, déterminer le rayon $R$ de ce cercle.

Saisir la valeur du rayon $R$.

Indice 1 : Regroupez les termes en $x$ et les termes en $y$ pour reconnaître le début d'égalités remarquables.

Indice 2 : L'équation d'un cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R$ s'écrit $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

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Réponse finale

Étape 1

On regroupe les termes en $x$ et en $y$ dans l'équation initiale : $x^2 - 6x + y^2 + 4y - 12 = 0$.

Étape 2

On reconnaît le début de formes canoniques : $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ et $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$.

Étape 3

En substituant dans l'équation, on obtient : $$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 12 = 0$$

Étape 4

Ce qui équivaut à : $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0 \iff (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Étape 5

L'équation est sous la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ avec $R^2 = 25$.

Étape 6

Comme un rayon est un nombre positif, on calcule $R = \sqrt{25} = 5$.

Méthode clé

Completer $x^2 - 2ax$ sous la forme $(x-a)^2 - a^2$ pour identifier $R^2$ au membre de droite.

Piège à éviter

Oublier de prendre la racine carrée du membre de droite pour obtenir le rayon $R$ (confondre $R^2$ et $R$).