Étape 1
Étape 1 : Calcul de la somme $GA^2 + GB^2 + GC^2$. D'après la relation fournie dans l'énoncé : $$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{1}{3}(AB^2 + BC^2 + CA^2)$$ En remplaçant par les valeurs numériques données : $$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{1}{3}(5^2 + 7^2 + 8^2) = \frac{1}{3}(25 + 49 + 64) = \frac{138}{3} = 46$$
Étape 2
Étape 2 : Calcul de la somme des produits scalaires croisés à partir de $G$. Le centre de gravité $G$ est caractérisé par la relation vectorielle : $$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$$ En élevant cette relation au carré scalaire, on obtient : $$(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})^2 = 0$$ Ce qui se développe sous la forme : $$GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2(\vec{GA} \cdot \vec{GB} + \vec{GB} \cdot \vec{GC} + \vec{GC} \cdot \vec{GA}) = 0$$ En substituant la valeur $GA^2 + GB^2 + GC^2 = 46$, on trouve : $$46 + 2(\vec{GA} \cdot \vec{GB} + \vec{GB} \cdot \vec{GC} + \vec{GC} \cdot \vec{GA}) = 0$$ D'où l'on déduit : $$\vec{GA} \cdot \vec{GB} + \vec{GB} \cdot \vec{GC} + \vec{GC} \cdot \vec{GA} = -23$$
Étape 3
Étape 3 : Expression de l'ensemble des points $M$. En introduisant le point $G$ par la relation de Chasles dans chaque vecteur : $$\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}, \quad \vec{MB} = \vec{MG} + \vec{GB}, \quad \vec{MC} = \vec{MG} + \vec{GC}$$ Le premier produit scalaire s'écrit : $$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MG} + \vec{GA}) \cdot (\vec{MG} + \vec{GB}) = MG^2 + \vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB}) + \vec{GA} \cdot \vec{GB}$$ En effectuant la somme des trois produits scalaires, on obtient : $$\vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MB} \cdot \vec{MC} + \vec{MC} \cdot \vec{MA} = 3 MG^2 + 2 \vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + (\vec{GA} \cdot \vec{GB} + \vec{GB} \cdot \vec{GC} + \vec{GC} \cdot \vec{GA})$$ Comme $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$, le terme intermédiaire s'annule. L'égalité définissant l'ensemble $\mathcal{E}_k$ équivaut donc à : $$3 MG^2 - 23 = k \quad \text{soit} \quad MG^2 = \frac{k + 23}{3}$$
Étape 4
Étape 4 : Détermination du paramètre pivot $k$. L'ensemble $\mathcal{E}_k$ est constitué des points $M$ dont le carré de la distance à $G$ vaut $\frac{k + 23}{3}$. Cet ensemble est réduit à l'unique point $G$ si et seulement si cette distance est nulle, c'est-à-dire : $$\frac{k + 23}{3} = 0$$ Ce qui donne immédiatement $k + 23 = 0$, soit $k = -23$.
Méthode clé
Pour réduire une somme de produits scalaires associés aux sommets d'un triangle, décomposer chaque vecteur en y insérant le centre de gravité $G$ grâce à la relation de Chasles.
Piège à éviter
Oublier de développer le carré scalaire de la relation carctéristique $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ pour déterminer la valeur des produits scalaires croisés.
