Exercice : Applications théoriques et approfondissements

Étape 1

Commençons par déterminer la mesure de l'angle $\hat{C}$. Dans le triangle $ABC$, la somme des angles est égale à $180^\circ$.

Étape 2

$$\hat{C} = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ$$

Étape 3

Appliquons la loi des sinus fournie dans le triangle $ABC$ :

Étape 4

$$\frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)}$$

Étape 5

On sait que $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ et $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. On en déduit :

Étape 6

$$AB = BC$$

Étape 7

$$AC = BC \times \frac{\sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = BC \times \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = BC\sqrt{3}$$

Étape 8

Exprimons maintenant l'aire $S$ du triangle en fonction de $BC$ :

Étape 9

$$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\hat{A})$$

Étape 10

En remplaçant $S$ par $9\sqrt{3}$, $AB$ par $BC$, $AC$ par $BC\sqrt{3}$ et $\sin(\hat{A})$ par $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ :

Étape 11

$$9\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times BC \times (BC\sqrt{3}) \times \frac{1}{2}$$

Étape 12

$$9\sqrt{3} = \frac{BC^2 \sqrt{3}}{4}$$

Étape 13

En simplifiant par $\sqrt{3}$ de chaque côté, on obtient :

Étape 14

$$9 = \frac{BC^2}{4}$$

Étape 15

Ce qui équivaut à $BC^2 = 36$. Une longueur étant strictement positive, on conclut que $BC = 6$.