Étape 1
D'après la formule de König-Huygens, la variance de $X$ s'exprime par :
$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$
Étape 2
En appliquant les données de l'énoncé, on obtient :
$$V(X) = 20 - 4^2 = 20 - 16 = 4$$
Étape 3
Par linéarité de l'espérance, on exprime $E(Y)$ en fonction de $k$ :
$$E(Y) = E(kX + 3) = k E(X) + 3 = 4k + 3$$
Étape 4
En utilisant les propriétés de la variance pour une transformation affine, on exprime $V(Y)$ en fonction de $k$ :
$$V(Y) = V(kX + 3) = k^2 V(X) = 4k^2$$
Étape 5
La condition $V(Y) = E(Y)$ se traduit par l'équation :
$$4k^2 = 4k + 3$$
Ce qui équivaut à l'équation du second degré :
$$4k^2 - 4k - 3 = 0$$
Étape 6
On calcule le discriminant de cette équation :
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times (-3) = 16 + 48 = 64$$
Étape 7
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles :
$$k_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \times 4} = \frac{4 - 8}{8} = -0,5$$
$$k_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \times 4} = \frac{4 + 8}{8} = 1,5$$
Étape 8
L'énoncé précisant que $k$ doit être un réel strictement positif, la valeur négative $k_1 = -0,5$ est rejetée. La seule valeur convenable est $k = 1,5$.
Méthode clé
Pour une variable aléatoire $Y = aX + b$, se rappeler que la transformation de l'espérance est linéaire ($E(aX+b) = aE(X)+b$) tandis que la variance multiplie par le carré du coefficient ($V(aX+b) = a^2 V(X)$).
Piège à éviter
Oublier d'élever $k$ au carré lors du calcul de $V(kX+3)$, ou oublier d'éliminer la solution négative de l'équation du second degré alors que $k > 0$.
