Exercice : Propriétés théoriques et simulations

Étape 1

Première étape : calcul de l'espérance $E(X)$. D'après la définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète : $$E(X) = (-3) \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}3 + 7 \times 0{,}4$$ $$E(X) = -0{,}9 + 0{,}3 + 2{,}8 = 2{,}2$$

Étape 2

Deuxième étape : calcul de l'espérance du carré $E(X^2)$. Les valeurs prises par $X^2$ sont $(-3)^2 = 9$, $1^2 = 1$ et $7^2 = 49$. D'après le théorème du transfert : $$E(X^2) = 9 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}3 + 49 \times 0{,}4$$ $$E(X^2) = 2{,}7 + 0{,}3 + 19{,}6 = 22{,}6$$

Étape 3

Troisième étape : expression de la fonction $f$. En remplaçant $E(X)$ et $E(X^2)$ dans la propriété fournie, on obtient pour tout réel $x$ : $$f(x) = x^2 - 2 \times 2{,}2 \times x + 22{,}6 = x^2 - 4{,}4 x + 22{,}6$$

Étape 4

Quatrième étape : recherche du minimum de la fonction $f$. La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré sous la forme $f(x) = a x^2 + b x + c$ avec $a = 1$, $b = -4{,}4$ et $c = 22{,}6$. Comme $a = 1 > 0$, la parabole représentant $f$ est orientée vers le haut. La fonction admet donc un minimum absolu atteint au sommet de la parabole d'abscisse $x_0 = -\frac{b}{2a}$ : $$x_0 = -\frac{-4{,}4}{2 \times 1} = 2{,}2$$

Étape 5

Cinquième étape : calcul de la valeur minimale. On calcule l'image de $x_0 = 2{,}2$ par la fonction $f$ : $$f(2{,}2) = (2{,}2)^2 - 4{,}4 \times 2{,}2 + 22{,}6$$ $$f(2{,}2) = 4{,}84 - 9{,}68 + 22{,}6 = 17{,}76$$ La valeur minimale atteinte par la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc égale à $17{,}76$ (remarque : cette valeur minimale correspond à la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$).