Exercice : Propriétés théoriques et simulations

Étape 1

Pour déterminer la taille minimale $n$ d'échantillon, calculons dans un premier temps l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.

Étape 2

L'espérance de $X$ est donnée par : $$E(X) = -3 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 5 \times 0{,}3 = -0{,}6 + 0{,}5 + 1{,}5 = 1{,}4$$

Étape 3

Calculons l'espérance du carré de $X$ : $$E(X^2) = (-3)^2 \times 0{,}2 + 1^2 \times 0{,}5 + 5^2 \times 0{,}3 = 9 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 25 \times 0{,}3 = 1{,}8 + 0{,}5 + 7{,}5 = 9{,}8$$

Étape 4

Par la formule de Koenig-Huygens, la variance de $X$ vaut : $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 9{,}8 - (1{,}4)^2 = 9{,}8 - 1{,}96 = 7{,}84$$

Étape 5

On en déduit l'écart-type de $X$ : $$\sigma(X) = \sqrt{7{,}84} = 2{,}8$$

Étape 6

Le seuil de tolérance théorique s'écrit donc : $$d(n) = \frac{2 \times 2{,}8}{\sqrt{n}} = \frac{5{,}6}{\sqrt{n}}$$

Étape 7

On cherche la plus petite valeur entière $n$ telle que $d(n) \le 0{,}35$, ce qui équivaut à : $$\frac{5{,}6}{\sqrt{n}} \le 0{,}35$$ Comme $n > 0$ et $0{,}35 > 0$, cette inéquation équivaut successivement à : $$\sqrt{n} \ge \frac{5{,}6}{0{,}35}$$ Or, $\dfrac{5{,}6}{0{,}35} = \dfrac{560}{35} = 16$. L'inéquation devient donc : $$\sqrt{n} \ge 16$$

Étape 8

En élevant au carré (les deux membres étant positifs), on obtient : $$n \ge 16^2 = 256$$ La plus petite valeur entière de la taille d'échantillon $n$ est donc $256$.