Exercice variable aleatoire, simulation python, ecart type — Propriétés théoriques et simulations (1ère Spécialité)

★★★ Challenge

Une étude statistique s'appuie sur une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p < 0{,}5$. On s'intéresse à la moyenne $m$ d'un échantillon de taille $n = 100$.

Le script Python ci-dessous calcule la proportion d'échantillons pour lesquels la différence entre la moyenne observée $m$ et l'espérance $\mu$ est inférieure ou égale au seuil théorique $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, où $\sigma$ est l'écart-type de $X$.

import random

def simulation(N, n, p):
    mu = p
    seuil = 0.08
    succes = 0
    for _ in range(N):
        echantillon = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(n)]
        m = sum(echantillon) / n
        if abs(m - mu) <= seuil:
            succes += 1
    return succes / N

En exploitant la valeur attribuée à la variable seuil pour $n = 100$, déterminer la valeur initiale du paramètre $p$.

Saisir la valeur de $p$.

Correction détaillée Étape par étape

✓

Réponse finale

0,2

Étape 1

Dans le script Python fourni, la variable seuil représente la quantité $d = \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. On sait que $n = 100$ et que la valeur numérique entrée est $0{,}08$.

Étape 2

On pose l'égalité : $$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{100}} = 0{,}08$$ Ce qui donne : $$\dfrac{2\sigma}{10} = 0{,}08 \implies 0{,}2\sigma = 0{,}08$$ On en déduit la valeur de l'écart-type $\sigma$ : $$\sigma = \dfrac{0{,}08}{0{,}2} = 0{,}4$$

Étape 3

Pour une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, la variance vaut $V(X) = p(1-p)$. Comme $V(X) = \sigma^2$, on a : $$\sigma^2 = p(1-p)$$ En remplaçant $\sigma$ par $0{,}4$ : $$0{,}4^2 = p - p^2 \implies 0{,}16 = p - p^2$$

Étape 4

On obtient l'équation du second degré : $$p^2 - p + 0{,}16 = 0$$ Calculons le discriminant $\Delta$ : $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 0{,}16 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$$ Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$p_1 = \dfrac{1 - \sqrt{0{,}36}}{2} = \dfrac{1 - 0{,}6}{2} = 0{,}2$$ $$p_2 = \dfrac{1 + \sqrt{0{,}36}}{2} = \dfrac{1 + 0{,}6}{2} = 0{,}8$$

Étape 5

L'énoncé précise que $p < 0{,}5$. La seule valeur retenue est donc $p = 0{,}2$.

Méthode clé

Identifier l'expression théorique du seuil $2\sigma/\sqrt{n}$ pour en déduire $\sigma$, puis poser l'équation de la variance d'une loi de Bernoulli.

Piège à éviter

Confondre l'écart-type $\sigma$ et la variance $\sigma^2$, ou oublier d'appliquer la condition $p < 0{,}5$ lors du choix de la racine.

Série en jeu !

Correction détaillée Étape par étape

Tu es maintenant "Débutant" !

Exercice : Propriétés théoriques et simulations

Correction détaillée Étape par étape

Tu es maintenant "Débutant" !

Signaler un problème