Exercice Monte-Carlo, simulation, Python — Propriétés théoriques et simulations (1ère Spécialité)

★ Standard

On souhaite estimer l'aire du domaine géométrique situé sous la parabole d'équation $y = x^2$, au-dessus de l'axe des abscisses et pour $x \in [0 ; 2]$.

Pour cela, on réalise une simulation de Monte-Carlo en générant aléatoirement des points dans le rectangle défini par $0 \le x \le 2$ et $0 \le y \le 4$.

On considère l'algorithme écrit en Python ci-dessous :

import random

def estimation_aire(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        x = random.uniform(0, 2)
        y = random.uniform(0, 4)
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return (compteur / N) * k

Afin que la fonction estimation_aire renvoie une estimation correcte de l'aire recherchée, quelle valeur numérique doit-on attribuer au paramètre $k$ ?

Saisir la valeur du paramètre $k$.

Figure donnée à titre indicatif

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Réponse finale

Étape 1

Dans cet algorithme de Monte-Carlo, les points $(x, y)$ sont générés de manière uniforme à l'intérieur du rectangle fermé défini par $0 \le x \le 2$ et $0 \le y \le 4$.

Étape 2

Calculons l'aire $A_{\text{rectangle}}$ de ce domaine d'échantillonnage :

Étape 3

$$A_{\text{rectangle}} = (2 - 0) \times (4 - 0) = 2 \times 4 = 8$$

Étape 4

La condition y <= x**2 compte le nombre de points tombant dans le domaine situé sous la parabole.

Étape 5

Le rapport $f = \dfrac{\text{compteur}}{N}$ représente la fréquence expérimentale des points situés sous la parabole. Cette fréquence estime la proportion de l'aire du domaine recherché par rapport à l'aire totale du rectangle :

Étape 6

$$f \approx \frac{A_{\text{domaine}}}{A_{\text{rectangle}}} = \frac{A_{\text{domaine}}}{8}$$

Étape 7

On en déduit l'estimation de l'aire du domaine :

Étape 8

$$A_{\text{domaine}} \approx f \times 8 = \left(\frac{\text{compteur}}{N}\right) \times 8$$

Étape 9

En identifiant avec la ligne d'instruction du programme return (compteur / N) * k, on obtient $k = 8$.

Méthode clé

Dans une méthode de Monte-Carlo, l'aire estimée est égale au produit de la fréquence des succès par l'aire totale du domaine d'échantillonnage.

Piège à éviter

Oublier de multiplier la fréquence expérimentale par l'aire totale du rectangle de simulation, ou confondre l'aire du rectangle avec sa longueur.

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Exercice : Propriétés théoriques et simulations

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