Exercice : Propriétés théoriques et simulations

★★★ Challenge

On s'intéresse à une méthode d'estimation géométrique de la surface sous une courbe à l'aide d'un algorithme probabiliste.

Propriété admise : L'aire du domaine délimité par la parabole d'équation $y = x^2$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $\dfrac{8}{3}$ unités d'aire.

Soit $k$ un entier strictement supérieur à $4$. On génère aléatoirement des points $M(X, Y)$ répartis de manière uniforme dans le rectangle $R = [0 ; 2] \times [0 ; k]$.

Un point $M(X, Y)$ appartient au domaine situé sous la parabole si ses coordonnées vérifient la condition $Y \leqslant X^2$.

Le script Python ci-dessous simule $1\ 350$ tirages indépendants de points dans ce rectangle :

import random

def simulation(k):
    compteur = 0
    for i in range(1350):
        x = random.uniform(0, 2)
        y = random.uniform(0, k)
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le nombre théorique moyen de points tombant sous la parabole lors de cette simulation est égal à $180$.

Saisir la valeur de $k$.