Rotations, homothéties et motifs géométriques
L'essentiel du cours (2 notions)
Effet d'une rotation
Définition : Une rotation fait tourner une figure autour d'un centre $O$, d'un angle donné et dans un sens déterminé.
Propriété : La rotation conserve les longueurs, les angles et les aires. La figure tourne sans déformation.
Exemple : Une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ fait tourner le segment $[AB]$ d'un quart de tour.
Homothétie et signe du rapport
Définition : Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k \neq 0$) agrandit ($\lvert k \rvert > 1$) ou réduit ($\lvert k \rvert < 1$) une figure.
Propriété : Si $k > 0$, la figure et son image sont du même côté par rapport au centre $O$. Si $k < 0$, l'image est de l'autre côté de $O$ (figure inversée).
Exemple : Si $k = -2$, les longueurs sont doublées et l'image est située de l'autre côté du centre $O$.
Dans la figure ci-dessous, le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -2{,}5$. La longueur du côté $[AB]$ mesure $6\text{ cm}$.
Calculer la longueur du côté $[A'B']$.
Saisir la valeur de la longueur $A'B'$ (en cm).
Dans le plan, le triangle $ABC$ possède deux angles mesurant $\widehat{ABC} = 48^\circ$ et $\widehat{BCA} = 67^\circ$.
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $40^\circ$ dans le sens horaire.
Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{B'A'C'}$.
Saisir la mesure de l'angle $\widehat{B'A'C'}$, en degrés.
La figure ci-contre représente une rosace régulière divisée en 8 motifs identiques numérotés de 1 à 8, répartis autour d'un point central $O$.
On applique à cette rosace une rotation de centre $O$ dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) qui transforme le motif 1 en le motif 4.
En calculant d'abord l'angle formé par un seul motif au centre $O$, déterminer la mesure de cet angle de rotation.
Saisir la mesure de l'angle de cette rotation (en degrés).
La rosace ci-dessous est formée de 8 motifs identiques, régulièrement disposés autour du point central $O$.
Le motif 1 est transformé en le motif 2 par une rotation de centre $O$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Déterminer la mesure en degrés de l'angle de cette rotation.
Saisir la mesure de l'angle en degrés.
Sur la figure ci-dessous, le triangle $OA'B'$ est l'image du triangle $OAB$ par une homothétie de centre $O$.
Les points $A$, $O$, $A'$ sont alignés dans cet ordre, tout comme les points $B$, $O$, $B'$.
On donne : $OA = 4\text{ cm}$ et $OA' = 6\text{ cm}$.
Saisir le rapport de cette homothétie sous forme décimale.
On considère un triangle $ABC$, rectangle en $A$, tel que $AB = 4{,}5\text{ cm}$ et $BC = 7{,}5\text{ cm}$.
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens anti-horaire, comme illustré ci-dessous.
Saisir le périmètre du triangle $A'B'C'$ en cm.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4{,}5\text{ cm}$ et $AC = 6\text{ cm}$.
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de rapport $-1{,}2$.
Saisir la longueur du segment $[B'C']$, exprimée en cm.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 9\text{ cm}$ et $AC = 12\text{ cm}$.
On applique au triangle $ABC$ une homothétie de centre $O$ et de rapport $-1{,}4$ pour obtenir le triangle $A'B'C'$.
Saisir la longueur $B'C'$ (en cm).
Un motif décoratif est constitué de trois figures emboîtées $F_1$, $F_2$ et $F_3$, ayant toutes le même centre $O$.
La figure $F_2$ est obtenue à partir de $F_1$ en multipliant toutes ses dimensions par un facteur $1{,}5$. La figure $F_3$ est obtenue à partir de $F_2$ en multipliant à nouveau toutes ses dimensions par un facteur $k$ (où $k > 1$).
On sait que l'aire de la figure $F_1$ est égale à $20\text{ cm}^2$ et que l'aire de la figure $F_3$ est égale à $180\text{ cm}^2$.
Saisir la valeur du facteur $k$.
Sur la figure ci-dessous, le point $B$ est l'image du point $A$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Dans le triangle $OAB$, l'angle $\widehat{OAB}$ mesure $57^\circ$.
En précisant la nature du triangle $OAB$, déterminer la mesure de l'angle $\alpha$ de cette rotation.
Saisir la mesure de l'angle $\alpha$ en degrés.