Exercice : Rotations, homothéties et motifs géométriques

Étape 1

Lors d'un agrandissement de facteur $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires sont multipliées par $k^2$.

Étape 2

Pour passer de la figure $F_1$ à la figure $F_2$, les dimensions sont multipliées par $1{,}5$. L'aire de $F_2$ s'obtient donc en multipliant l'aire de $F_1$ par $1{,}5^2$ :

Étape 3

$$\text{Aire}(F_2) = 20 \times 1{,}5^2 = 20 \times 2{,}25 = 45\text{ cm}^2$$

Étape 4

Pour passer de la figure $F_2$ à la figure $F_3$, les dimensions sont multipliées par $k$. L'aire est donc multipliée par $k^2$, ce qui traduit la relation :

Étape 5

$$\text{Aire}(F_3) = \text{Aire}(F_2) \times k^2$$

Étape 6

En remplaçant par les valeurs numériques connues, on obtient l'équation $180 = 45 \times k^2$, ce qui donne $k^2 = \dfrac{180}{45} = 4$.

Étape 7

Comme le facteur $k$ est un nombre positif, on en déduit que $k = \sqrt{4} = 2$.