Exercice : Rotations, homothéties et motifs géométriques

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur $AC$ dans le triangle $ABC$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$7{,}5^2 = 4{,}5^2 + AC^2$$ $$56{,}25 = 20{,}25 + AC^2$$ D'où : $$AC^2 = 56{,}25 - 20{,}25 = 36$$ Une longueur étant positive, on obtient $AC = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.

Étape 2

Étape 2 : Utilisation des propriétés de la rotation. La rotation conserve les longueurs. Le triangle $A'B'C'$ étant l'image du triangle $ABC$ par une rotation, ses côtés ont les mêmes longueurs que ceux de $ABC$ : $$A'B' = AB = 4{,}5\text{ cm}$$ $$B'C' = BC = 7{,}5\text{ cm}$$ $$A'C' = AC = 6\text{ cm}$$

Étape 3

Étape 3 : Calcul du périmètre de $A'B'C'$. Le périmètre $\mathcal{P}$ du triangle $A'B'C'$ est donné par : $$\mathcal{P} = A'B' + B'C' + A'C' = 4{,}5 + 7{,}5 + 6 = 18\text{ cm}$$