Espérance et variance de sommes
L'essentiel du cours (6 notions)
Décomposition d'une variable aléatoire
Propriété : Toute variable binomiale $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ s'exprime comme la somme de $n$ variables de Bernoulli $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ indépendantes : $X = X_1 + \dots + X_n$.
Méthode : Associer à chaque épreuve une variable indicatrice de succès $X_i \in \{0, 1\}$, puis exprimer la variable globale sous forme de somme : $X = \sum_{i=1}^n X_i$.
Exemple : Le nombre de succès $X$ en 10 tirages indépendants s'écrit $X = X_1 + \dots + X_{10}$ avec $X_i \sim \mathcal{B}(p)$.
Linéarité de l'espérance
Propriété : L'espérance est linéaire pour toutes variables aléatoires (indépendantes ou non) et pour tout réel $a$.
Formule : $E(X + Y) = E(X) + E(Y) \quad\text{et}\quad E(aX) = aE(X)$
Méthode : Pour calculer $E(X)$ sans déterminer sa loi, la décomposer en somme $X = X_1 + \dots + X_n$ puis calculer $E(X) = \sum_{i=1}^n E(X_i)$.
Variance d'une somme d'indépendantes
Propriété : L'additivité de la variance nécessite l'**indépendance**. Pour tout réel $a$, la propriété $V(aX) = a^2 V(X)$ reste toujours vraie.
Formule : $V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad (X, Y \text{ indépendantes})$
Méthode : Si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes, calculer la variance globale par additivité : $V(X_1 + \dots + X_n) = V(X_1) + \dots + V(X_n)$.
Indicateurs de la loi binomiale
Propriété : Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, l'espérance, la variance et l'écart type s'obtiennent par décomposition en somme de $n$ variables de Bernoulli $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ indépendantes.
Formule : $E(X) = np \quad;\quad V(X) = np(1-p) \quad;\quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$
Méthode : Démontrer $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ en appliquant la linéarité et l'additivité à la décomposition $X = X_1 + \dots + X_n$.
Somme et moyenne d'échantillon
Définition : Un échantillon de taille $n$ est représenté par $n$ variables $(X_1, \dots, X_n)$ indépendantes et de même loi (d'espérance $\mu$ et variance $V$).
Propriété : La moyenne $M_n$ conserve l'espérance $\mu$, mais sa variance et son écart type diminuent avec la taille $n$.
Formule : $E(S_n) = n\mu \,,\; V(S_n) = nV \quad|\quad E(M_n) = \mu \,,\; V(M_n) = \frac{V}{n} \,,\; \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Indépendance et produit d'espérances
Propriété : Si deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, l'espérance de leur produit est égale au produit de leurs espérances.
Formule : $E(XY) = E(X)E(Y) \quad (X, Y \text{ indépendantes})$
Méthode : Pour prouver $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ : développer $E((X+Y)^2)$ et $(E(X+Y))^2$, puis remplacer $E(XY)$ par $E(X)E(Y)$ pour éliminer le double produit.
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}3)$.
- Calculer l'espérance $E(X)$.
- Calculer la variance $V(X)$.
Saisir la valeur de la variance $V(X)$
Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 12$.
On considère un échantillon de taille $n$ composé de variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$. On note $M_n$ la moyenne de cet échantillon.
On cherche à déterminer la taille d'échantillon $n$ pour laquelle la variance de la moyenne $M_n$ est inférieure ou égale à $0{,}25$.
Saisir la valeur minimale de l'entier $n$.
On considère $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1, X_2, \dots, X_n$ suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}35$.
On définit la variable aléatoire $X$ comme la somme de ces $n$ variables :
$$X = \sum_{i=1}^n X_i$$On donne la valeur de l'espérance de la somme : $E(X) = 14$.
1. Exprimer l'espérance $E(X_i)$ d'une variable $X_i$ en fonction de $p$.
2. Déterminer le nombre $n$ de variables de Bernoulli ainsi sommées.
Saisir la valeur de $n$.
Une étude statistique sur la gestion d'un atelier modélise le gain quotidien par une variable aléatoire $G$.
On considère $10$ variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_{10}$ modélisant les recettes de dix secteurs d'activité, ayant toutes pour espérance $E(X_i) = 1{,}5$ millier d'euros pour tout $i \in \{1; \dots; 10\}$.
On note également $Y$ une variable aléatoire représentant les charges de fonctionnement, avec $E(Y) = 8$ milliers d'euros.
Le gain global quotidien $G$ (en milliers d'euros) dépend d'un paramètre réel $k$ selon la relation suivante :
$$G = k \sum_{i=1}^{10} X_i - 2Y + 5$$On constate expérimentalement que le gain moyen quotidien s'élève à $34$ milliers d'euros, c'est-à-dire que $E(G) = 34$.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
On répète $n$ fois de manière indépendante une même expérience aléatoire admettant deux issues : « succès » avec une probabilité $p = 0{,}2$, et « échec ».
On note $S_n$ la variable aléatoire mesurant le nombre total de succès obtenus à l'issue des $n$ répétitions.
Saisir la plus petite valeur de l'entier naturel non nul $n$ pour laquelle la variance de $S_n$ est supérieure ou égale à $12$.
Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{c|cc} x & -3 & 3 \\ \hline P(X_1 = x) & 0{,}5 & 0{,}5 \end{array}$$
On pose $S = X_1 + X_2$.
- Calculer la variance $V(X_1)$ de la variable aléatoire $X_1$.
- En utilisant l'additivité de la variance pour des variables aléatoires indépendantes, déterminer la variance $V(S)$ de la somme $S$.
Saisir la valeur de $V(S)$.
On considère un échantillon $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi, dont l'écart type est égal à $15$. On note $M_n$ la variable aléatoire représentant la moyenne arithmétique de cet échantillon :
$$M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$
On souhaite que l'écart type de la moyenne $M_n$ soit égal à $2{,}5$.
Saisir la valeur de la taille $n$ de cet échantillon.
Une entreprise fabrique des cartes électroniques. On étudie deux types de micro-défauts présentés par ces cartes :
- Soit $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre de défauts de type A, avec $E(X) = 0{,}15$.
- Soit $Y$ la variable aléatoire mesurant le nombre de défauts de type B, avec $E(Y) = 0{,}10$.
Le coût total de contrôle et de retouche d'une carte, exprimé en euros, est modélisé par la variable aléatoire $C = aX + 12Y + 5$, où $a$ est un paramètre réel positif correspondant au coût unitaire de traitement d'un défaut de type A.
Sur un grand nombre de pièces contrôlées, le coût moyen par carte s'élève à $7{,}70$ €.
Déterminer la valeur du paramètre $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une suite $X_1, X_2, \dots, X_n$ de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{3}{8}$.
On définit la variable aléatoire $X = \sum_{i=1}^{n} X_i$.
Par une justification théorique s'appuyant sur les propriétés des variables de Bernoulli et l'indépendance de la somme, déterminer le plus petit entier naturel $n$, noté $n_0$, tel que l'écart type $\sigma(X)$ soit supérieur ou égal à $15$.
Saisir la valeur de $n_0$.
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{c|ccc}x_i & -1 & 1 & 3 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3\end{array}$$Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère $n$ variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ indépendantes et de même loi que $X$.
On pose $T_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$, puis $Y = 5 T_n - 7$.
Sachant que la variance de $Y$ est égale à $245$, déterminer la valeur de l'entier $n$.
Saisir la valeur de $n$.
Une entreprise fabrique deux types de pièces, notées A et B. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces A produites par jour, et par $Y$ celle égale au nombre de pièces B produites par jour.
Des études statistiques montrent que $E(X) = 15$ et $E(Y) = 25$.
Le bénéfice quotidien de l'entreprise, exprimé en euros, est modélisé par la variable aléatoire $Z = a X + 12 Y - 50$, où $a$ représente le gain en euros apporté par chaque pièce A produite, et $50$ représente les charges fixes quotidiennes.
On cherche à déterminer la valeur de $a$ pour que le bénéfice quotidien moyen de l'entreprise soit égal à $370$ €.
Saisir la valeur de $a$.
Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel appartenant à $]0 ; 1[$.
Une expérience aléatoire consiste à répéter $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès, de sorte que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
On définit la variable aléatoire $Y$ par la relation : $$Y = 2X - n$$
On suppose que l'espérance de $Y$ est $E(Y) = 40$ et que sa variance est $V(Y) = 84$.
Saisir la valeur du nombre d'épreuves $n$.
Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même espace probabilisé vérifient, pour tous réels $a$ et $b$ dans leurs ensembles de valeurs respectifs, la relation $P((X=a) \cap (Y=b)) = P(X=a) \times P(Y=b)$.
La loi de $X$ est définie par $P(X=0) = 0{,}5$ et $P(X=2) = 0{,}5$.
La loi de $Y$ est définie par $P(Y=-1) = 0{,}75$ et $P(Y=3) = 0{,}25$.
Pour tout réel $k > 0$, on définit la variable aléatoire $Z = X + k Y$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ telle que $V(Z) = 13$.
Saisir la valeur de $k$.