Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Calculons d'abord l'espérance de $X_1$ : $$E(X_1) = -3 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}5 = -1{,}5 + 1{,}5 = 0$$

Étape 2

Calculons ensuite l'espérance du carré $X_1^2$ : $$E(X_1^2) = (-3)^2 \times 0{,}5 + 3^2 \times 0{,}5 = 9 \times 0{,}5 + 9 \times 0{,}5 = 4{,}5 + 4{,}5 = 9$$

Étape 3

La variance de $X_1$ est donc : $$V(X_1) = E(X_1^2) - (E(X_1))^2 = 9 - 0^2 = 9$$

Étape 4

Comme $X_1$ et $X_2$ suivent la même loi, on a aussi $V(X_2) = 9$.

Étape 5

Les variables $X_1$ et $X_2$ étant indépendantes, la propriété d'additivité de la variance s'applique : $$V(S) = V(X_1 + X_2) = V(X_1) + V(X_2)$$

Étape 6

D'où : $$V(S) = 9 + 9 = 18$$