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9 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (4 notions)

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Propriété : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors pour tout $k \in f(I)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha \in I$.

Méthode : 1. Justifier la continuité. 2. Établir la stricte monotonie. 3. Vérifier $k \in f(I)$. 4. Conclure à l'unicité dans $I$.

Exemple : $f(x)=x^3+x$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Comme $2 \in f([0;+\infty[) = [0;+\infty[$, $f(x)=2$ a une unique solution dans $[0;+\infty[$.

Algorithme de dichotomie

Définition : Méthode d'encadrement de la solution unique de $f(x) = k$ sur $[a ; b]$ en divisant par $2$ la longueur de l'intervalle à chaque étape.

Méthode : 1. Calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}. 2. Garder le sous-intervalle ($[a ; m]$ ou $[m ; b]$) dont les images encadrent $k$. 3. Répéter tant que $b - a > \varepsilon$ (précision).

Exemple : Pour $f(x)=0$ sur $[1 ; 2]$ avec $f(1)<0$ et $f(2)>0$ : si $f(1{,}5)>0$, la solution est dans $[1 ; 1{,}5]$.

Prolongement par continuité

Définition : Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $L$ en $a$, son prolongement par continuité en $a$ est la fonction $g$ continue en $a$ définie par $g(x)=f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a)=L$.

Exemple : Soit $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Comme $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$, son prolongement $g$ en $1$ vérifie $g(1)=2$.

Image d'un intervalle par bijection

Propriété : Si $f$ est une bijection continue de $I$ sur $J$, tout réel $y \in J$ possède un unique antécédent dans $I$. Si $f$ est strictement croissante, $f(]a ; b[) = ]\lim_{x \to a} f(x) ; \lim_{x \to b} f(x)[$.

Méthode : 1. Établir la stricte monotonie de $f$ sur $I$. 2. Calculer les images des bornes ou leurs limites. 3. L'intervalle image regroupe l'ensemble des valeurs atteintes.

Exemple : Si $f$ est strictement croissante sur $]0 ; 2]$ avec $\lim_{x \to 0} f(x)=-1$ et $f(2)=3$, alors $f(]0 ; 2]) = ]-1 ; 3]$.

★ Standard

Soit $b$ un nombre réel strictement supérieur à $2$. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [2 ; b]$ par $f(x) = x^2 - 1$.

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $I$. Elle réalise ainsi une bijection de l'intervalle $[2 ; b]$ sur l'intervalle image $J = [3 ; 15]$.

  1. Exprimer la borne supérieure de l'intervalle image $J$ en fonction de $b$.
  2. En déduire la valeur du réel $b$.

Saisir la valeur de $b$.
★ Standard

On considère la fonction Python ci-dessous, qui met en œuvre l'algorithme de dichotomie pour déterminer un encadrement de la solution d'une équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[0 ; b]$, où $b$ est un réel strictement positif :

def dichotomie(b):
    a = 0
    for i in range(4):
        m = (a + b) / 2
        if f(m) > 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

Après l'exécution de cet algorithme, la longueur de l'intervalle final $[a ; b]$ est égale à $0{,}375$.

Saisir la valeur de b.
★ Standard

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1 ; 5]$ par :

$$f(x) = -x^2 + 4x + 1$$

En étudiant les variations de la fonction $f$, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$ sur l'intervalle $[-1 ; 5]$.

Saisir le nombre de solutions sous la forme d'un entier.
★★ Avancé

On considère le script Python ci-dessous, destiné à encadrer la solution de l'équation $x^3 + 2x - 11 = 0$ :

def recherche(n):
    a = 0
    b = B
    for i in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if m**3 + 2 * m - 11 < 0:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

On sait que B est un nombre réel strictement positif et que l'instruction recherche(3) renvoie le couple (1.5, 2.0).

Déterminer la valeur du réel $B$.
★★ Avancé

Soit $k$ un nombre réel strictement supérieur à $-3$. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[2 ; 5]$ par :

$$f(x) = \frac{kx + 3}{x - 1}$$

On note $J = f([2 ; 5])$ l'image de l'intervalle $[2 ; 5]$ par la fonction $f$.

Sachant que la borne supérieure de l'intervalle $J$ est égale à $11$, déterminer la valeur du réel $k$.

Saisir la valeur du réel $k$.
★★★ Challenge

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 6x + 1$$

On s'intéresse au nombre de solutions réelles de l'équation $f(x) = k$, où $k$ est un paramètre réel.

L'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles cette équation admet exactement trois solutions réelles distinctes est un intervalle ouvert de la forme $]a\,; b[$.

Saisir la valeur de la borne supérieure $b$.
★★★ Challenge

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[\ln(2) ; +\infty[$ par :

$$f(x) = e^{2x} - 4e^x + 5$$

Démontrer par une preuve rigoureuse que l'équation $f(x) = 10$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[\ln(2) ; +\infty[$, puis déterminer la valeur exacte de $e^\alpha$.

Saisir la valeur de $e^\alpha$.
★★★ Challenge

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ par :

$$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$$

On s'intéresse à l'équation $f(x) = k$, où $k$ est un nombre entier relatif.

Déterminer le nombre d'entiers $k$ pour lesquels l'équation $f(x) = k$ admet exactement trois solutions réelles distinctes dans l'intervalle $[-2 ; 4]$.

Saisir le nombre d'entiers $k$ satisfaisant cette condition.
Approfondissement ★★★ Challenge

Soit $k$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par :

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k x + 3} - 2}{e^{x-1} - 1}$$

Rappel : On dit que $f$ admet un prolongement par continuité en $1$ s'il existe un réel $L$ tel que $\\lim_{x \to 1} f(x) = L$. On définit alors $f(1) = L$.

Il existe une unique valeur du paramètre $k$ pour laquelle la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $1$, noté $\tilde{f}$.

Saisir la valeur de $\tilde{f}(1)$.