Étape 1
Étape 1 : Recherche de la condition nécessaire sur le paramètre $k$.
Calculons la limite du dénominateur lorsque $x$ tend vers $1$ :
$$\lim_{x \to 1} \left(e^{x-1} - 1\right) = e^0 - 1 = 0$$
Pour que la fonction $f$ admette une limite finie en $1$, il est nécessaire que le numérateur tende également vers $0$ quand $x$ tend vers $1$ (afin d'éviter une limite infinie du type $\frac{C}{0}$ avec $C \neq 0$).
On doit donc avoir :
$$\lim_{x \to 1} \left(\sqrt{x^2 + kx + 3} - 2\right) = 0$$
Par continuité de la fonction racine carrée, cela donne :
$$\sqrt{1^2 + k \times 1 + 3} - 2 = 0$$
Ce qui équivaut à $\sqrt{k + 4} = 2$, c'est-à-dire $k + 4 = 4$, d'où $k = 0$.
Étape 2
Étape 2 : Levée de l'indétermination pour $k = 0$.
Pour $k = 0$, l'expression de la fonction $f$ pour tout $x \neq 1$ devient :
$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{e^{x-1} - 1}$$
Multiplions le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2 + 3} + 2$ :
$$f(x) = \frac{\left(\sqrt{x^2 + 3} - 2\right)\left(\sqrt{x^2 + 3} + 2\right)}{\left(e^{x-1} - 1\right)\left(\sqrt{x^2 + 3} + 2\right)}$$
En développant le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, on obtient :
$$f(x) = \frac{x^2 + 3 - 4}{\left(e^{x-1} - 1\right)\left(\sqrt{x^2 + 3} + 2\right)} = \frac{x^2 - 1}{\left(e^{x-1} - 1\right)\left(\sqrt{x^2 + 3} + 2\right)}$$
Factorisons le terme $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ pour faire apparaître le produit :
$$f(x) = \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1} \times \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2}$$
Étape 3
Étape 3 : Calcul de la limite et conclusion.
Étudions les limites des deux facteurs lorsque $x$ tend vers $1$ :
En posant $u = x - 1$, on a $u \to 0$ lorsque $x \to 1$. D'après la limite fondamentale du taux de variation de la fonction exponentielle en $0$ :
$$\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1 \quad \text{donc par inverse} \quad \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1} = 1$$
D'autre part, par continuité des fonctions élémentaires en $1$ :
$$\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} = \frac{1 + 1}{\sqrt{1^2 + 3} + 2} = \frac{2}{\sqrt{4} + 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5$$
Par produit des limites, il vient :
$$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5$$
La limite en $1$ existe et est finie, donc la fonction $f$ est prolongable par continuité en $1$ en posant $\tilde{f}(1) = 0{,}5$.
Méthode clé
Une fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est une valeur finie $L$. Le prolongement est alors défini par $\tilde{f}(a) = L$.
Piège à éviter
Calculer la limite sans déterminer au préalable la valeur du paramètre $k$ qui annule le numérateur.
