Exercice : Continuité et TVI

Étape 1

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $I = [2 ; b]$.

Étape 2

Par propriété des bijections obtenues par stricte monotonie d'une fonction continue, l'image de l'intervalle $[2 ; b]$ est l'intervalle $$[f(2) ; f(b)]$$

Étape 3

On calcule la borne inférieure : $$f(2) = 2^2 - 1 = 3$$ La borne supérieure de l'intervalle image est donnée par $f(b) = b^2 - 1$.

Étape 4

L'énoncé indique que l'intervalle image est $J = [3 ; 15]$. On en déduit l'égalité $$f(b) = 15$$ ce qui équivaut à $$b^2 - 1 = 15$$

Étape 5

En ajoutant $1$ de chaque côté, on obtient $$b^2 = 16$$

Étape 6

Les solutions réelles de cette équation sont $b = 4$ et $b = -4$. Comme $b$ doit être strictement supérieur à $2$, la seule valeur retenue est $b = 4$.