Vecteurs et bases de l'espace
L'essentiel du cours (3 notions)
Représenter une combinaison linéaire
Définition : Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{k}$ s'il existe des réels $a$, $b$, $c$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{k}$.
Méthode : Pour construire $a\vec{u} + b\vec{v}$ : tracer $a\vec{u}$, puis placer l'origine de $b\vec{v}$ à l'extrémité de $a\vec{u}$. Le vecteur résultat relie l'origine initiale à l'extrémité finale.
Exemple : Dans un cube $ABCDEFGH$, la diagonale $\vec{AG}$ s'obtient par la somme des trois arêtes : $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$.
Exprimer un vecteur sur une figure
Méthode : 1. Décomposer le vecteur cible par la relation de Chasles via les sommets du solide. 2. Remplacer les vecteurs par ceux de référence. 3. Simplifier l'expression.
Exemple : Si $I$ est le milieu de $[AB]$ dans le cube $ABCDEFGH$ : $\vec{GI} = \vec{GC} + \vec{CB} + \vec{BI} = -\vec{AE} - \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.
Bases du plan et de l'espace
Propriété : Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan. Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.
Méthode : Pour lire les coordonnées $(x; y; z)$ de $\vec{u}$ dans une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, déterminer l'unique décomposition $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Exemple : Dans le cube $ABCDEFGH$, $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ forme une base. Comme $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$, ses coordonnées sont $(1; 1; 1)$.
Soit $ABCDEFGH$ un cube dans l'espace.
On considère le point $I$, milieu du segment $[FG]$.
Le vecteur $\vec{AI}$ s'exprime sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ :
$$\vec{AI} = \vec{AB} + k\vec{AD} + \vec{AE}$$où $k$ est un nombre réel.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. On considère le point $M$ situé sur le segment $[GC]$ tel que $\vec{GM} = k \vec{GC}$, où $k$ est un nombre réel.
Dans la base $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$, la décomposition du vecteur $\vec{BM}$ est donnée par :
$$\vec{BM} = \vec{AD} + 0{,}25 \vec{AE}$$Démarche :
- En utilisant la relation de Chasles en passant par le point $G$, exprimer le vecteur $\vec{BM}$ en fonction des vecteurs $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ et du réel $k$.
- Par identification avec l'expression donnée, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$ sous forme décimale.
On considère le parallélépipède $ABCDEFGH$ ci-dessous. Les trois vecteurs non coplanaires $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ forment une base de l'espace.
En utilisant la relation de Chasles et les propriétés du parallélépipède, on exprime le vecteur $\vec{BH}$ dans la base $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ sous la forme :
$$\vec{BH} = x\,\vec{AB} + y\,\vec{AD} + z\,\vec{AE}$$où $x$, $y$ et $z$ sont des nombres réels.
Saisir la valeur du nombre réel $x$.
Dans le cadre de la conception d'un boîtier électronique, un pavé droit $ABCDEFGH$ présente les dimensions suivantes : $AB = 12\text{ cm}$, $AD = 16\text{ cm}$ et $AE = 48\text{ cm}$.
Une sonde filiforme rectiligne est tendue entre le point $P$, centre de la face $CDHG$, et le point $Q$, situé sur la grande diagonale $[AG]$ de manière à vérifier la relation vectorielle $\vec{AQ} = \dfrac{3}{4}\vec{AG}$.
Déterminer la longueur exacte $PQ$ de cette sonde, exprimée en centimètres.
(Figure donnée à titre indicatif)
Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.
On considère les points $I$ et $J$ définis par $\vec{AI} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}$ et $\vec{HJ} = \dfrac{1}{4}\vec{HG}$.
Soit $K$ un point de la droite $(DF)$ tel que $\vec{DK} = k\,\vec{DF}$, où $k$ est un nombre réel.
On cherche la condition sur $k$ pour que le vecteur $\vec{CK}$ puisse s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{CI}$ et $\vec{CJ}$.
Déterminer la valeur exacte du nombre réel $k$.
On considère le parallélépipède $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. Les trois vecteurs non coplanaires $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ forment la base $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ de l'espace.
Soient les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ définis par :
- $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AD}$
- $\vec{v} = \vec{AD} + 2\vec{AE}$
- $\vec{w} = 2\vec{AB} + 5\vec{AD} + k\vec{AE}$, où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le triplet de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ ne forme pas une base de l'espace.
Saisir la valeur du réel $k$.