Calcul d'intégrales et aires
L'essentiel du cours (5 notions)
Interprétation géométrique et valeur moyenne
Propriété : Pour $f$ continue sur $[a;b]$ ($a < b$) : • Si $f \ge 0$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ représente l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses (en u.a.). • Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$
Méthode : 1. Calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)$. 2. Multiplier par $\frac{1}{b-a}$ pour la valeur moyenne.
Exemple : Moyenne de $x^2$ sur $[0;3]$ : $\mu = \frac{1}{3} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$.
Calcul d'intégrale par primitive
Propriété : Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Exemple : $\int_{1}^{3} 2x\,dx = [x^2]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 8$.
Intégration par parties
Propriété : Si $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[a;b]$ : $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$.
Méthode : 1. Choisir $u(x)$ et $v'(x)$. 2. Calculer $u'(x)$ et déterminer une primitive $v(x)$. 3. Appliquer la formule d'intégration par parties.
Exemple : $\int_0^1 x e^x\,dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$ ($u(x)=x, v'(x)=e^x$).
Intégration et inégalités
Propriété : Pour $a \le b$, si $f$ et $g$ sont continues avec $f \le g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$. Si $f \ge 0$, $\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$.
Méthode : 1. Établir l'inégalité $f(x) \le g(x)$ sur $[a;b]$ avec $a \le b$. 2. Intégrer l'inégalité entre $a$ et $b$.
Exemple : Sur $[0;1]$, $e^{-x} \le 1$ donc $\int_0^1 e^{-x}\,dx \le \int_0^1 1\,dx = 1$.
Aire entre deux courbes
Propriété : Pour $a \le b$, si $f$ et $g$ sont continues avec $f(x) \ge g(x)$ sur $[a;b]$, l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ vaut $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$ u.a.
Méthode : 1. Vérifier que $f(x) \ge g(x)$ sur $[a;b]$. 2. Calculer l'intégrale de la différence $f(x) - g(x)$.
Exemple : Sur $[0;1]$, $x \ge x^2$. L'aire vaut $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{6}$ u.a.
Soit $k$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~2]$ par $f(x) = 3x^2 + k$.
On sait que $\int_{0}^{2} (3x^2 + k) \, \mathrm{d}x = 14$.
En déterminant d'abord une primitive de la fonction $f$ en fonction de $k$, calculer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ par :
$$f(x) = kx(x^2 + 1)^2$$On sait que :
$$\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = 14$$Saisir la valeur du réel $k$.
On considère la fonction $f$ continue et positive sur l'intervalle $[0~;~6]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
*(Figure donnée à titre indicatif)*
Un élève propose la résolution suivante pour calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{6} f(x) \,\mathrm{d}x$ :
- Étape 1 : Par interprétation géométrique, l'intégrale $I = \int_{0}^{6} f(x) \,\mathrm{d}x$ est égale à l'aire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 6$.
- Étape 2 : On décompose ce domaine en deux surfaces simples : un rectangle sur l'intervalle $[0~;~4]$ de largeur $4$ et de hauteur $3$, et un triangle rectangle sur l'intervalle $[4~;~6]$ de base $2$ et de hauteur $3$.
- Étape 3 : L'aire du rectangle est $A_1 = 4 \times 3 = 12$, et l'aire du triangle est $A_2 = 2 \times 3 = 6$.
- Étape 4 : L'intégrale $I$ est égale à la somme de ces deux aires : $I = A_1 + A_2 = 12 + 6 = 18$.
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~2]$ par :
$$f(x) = 3x^2 + 2 \quad \text{et} \quad g(x) = x$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives. Pour tout $x \in [0~;~2]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.
Calculer l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$.
Saisir la valeur de l'aire sous forme d'un nombre entier ou d'une fraction irréductible.
On considère l'intégrale $I = \int_{0}^{1} (4x + 1) e^x \mathrm{d}x$.
En utilisant une intégration par parties, on peut montrer que cette intégrale s'écrit sous la forme $I = e + k$, où $k$ est un nombre entier.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 \,; 3]$ par $f(x) = \dfrac{12}{x + 1}$.
En minorant d'abord la fonction $f$ par une constante sur l'intervalle $[0 \,; 3]$, puis en utilisant l'intégration des inégalités, déterminer le nombre réel $m$ tel que :
$$m \le \int_{0}^{3} \dfrac{12}{x + 1} \, \mathrm{d}x$$Saisir la valeur de $m$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'intégrale $I$ définie par :
$$I = \int_1^e (kx + 2) \ln(x) \, \mathrm{d}x$$On sait que la valeur exacte de cette intégrale est $I = 3e^2 + 5$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère la fonction $f$ continue et positive sur $[0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \frac{1}{3}x + 2$, dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
Pour tout réel $k > 0$, on note $\mathcal{D}_k$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = k$.
On sait que l'aire du domaine $\mathcal{D}_k$ est égale à $18\text{ unités d'aire}$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère les fonctions $f_k$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~2]$ par :
$$f_k(x) = x^2 + k \quad \text{et} \quad g(x) = 2x - 1$$où $k$ est un nombre réel positif.
Pour tout réel $k \ge 0$, la courbe représentative de la fonction $f_k$ est située entièrement au-dessus de celle de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~2]$.
L'aire de la surface délimitée par ces deux courbes et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $\dfrac{20}{3}$ unités d'aire.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un entier naturel non nul. On considère l'intégrale $I_k$ définie par :
$$I_k = \int_0^1 (1 - x)^k e^x \,\mathrm{d}x$$En encadrant la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0, 1]$ puis en intégrant l'inégalité obtenue, on établit une majoration de $I_k$ dépendant de $k$.
Déterminer la plus petite valeur de l'entier $k$ pour laquelle la majoration de $I_k$ ainsi obtenue est strictement inférieure à $\frac{e}{15}$.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on considère les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0 ; + \infty[$ par :
$$f(x) = k x \quad \text{et} \quad g(x) = x^2$$
où $k$ est un nombre réel strictement positif.
Ces deux courbes délimitent un domaine fermé du plan dont l'aire est égale à 36 unités d'aire.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.