Exercice : Calcul d'intégrales et aires

Étape 1

Puisque la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $[0~;~2]$, on a $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x \in [0~;~2]$.

Étape 2

L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par les deux courbes entre $x = 0$ et $x = 2$, exprimée en unités d'aire, est égale à :

Étape 3

$$\mathcal{A} = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, \text{d}x$$

Étape 4

On exprime la différence $f(x) - g(x)$ pour tout $x \in [0~;~2]$ :

Étape 5

$$f(x) - g(x) = (3x^2 + 2) - x = 3x^2 - x + 2$$

Étape 6

Une primitive $H$ de la fonction $x \mapsto 3x^2 - x + 2$ sur $[0~;~2]$ est :

Étape 7

$$H(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$$

Étape 8

On calcule alors la valeur de l'intégrale :

Étape 9

$$\mathcal{A} = H(2) - H(0)$$

Étape 10

$$\mathcal{A} = \left(2^3 - \frac{1}{2} \times 2^2 + 2 \times 2\right) - 0 = 8 - 2 + 4 = 10$$

Étape 11

L'aire de la surface délimitée par les deux courbes est donc égale à $10$ unités d'aire.