Projection orthogonale et distances
L'essentiel du cours (3 notions)
Distance et projeté orthogonal
Définition : Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ (ou une droite $d$) est l'unique point de $\mathcal{P}$ (ou $d$) tel que $(AH)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ (ou $d$).
Propriété : La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ (ou à la droite $d$) est la longueur $AH$. Pour tout point $M$ du plan (ou de la droite), $AM \geqslant AH$.
Calculs de grandeurs dans l'espace
Propriété : Le volume d'une pyramide (ou tétraèdre) est $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \mathcal{B} \times h$, où la hauteur $h = AH$ correspond à la distance du sommet $A$ au plan de la base.
Méthode : 1. Calculer l'aire $\mathcal{B}$ de la base. 2. Calculer la hauteur $h = AH$ via le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur la base. 3. Appliquer $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \mathcal{B} h$.
Projeté orthogonal sur plan ou droite
Méthode : • Sur un plan $\mathcal{P}$ : déterminer l'intersection de $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$. • Sur une droite $d$ : chercher $H \in d(t)$ vérifiant $\vec{AH} \cdot \vec{u}_d = 0$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$$2x - y + 2z - 6 = 0$$
Soit $a$ un nombre réel et le point $A(a, -2, 6)$.
On sait que le point $H(1, 0, 2)$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.
Déterminer la valeur du réel $a$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère le point $A(1\,; 4\,; 3)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$$x + 2y - 2z + 15 = 0$$On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$, et $\mathcal{D}$ la droite passant par $A$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
- Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$.
- En déduire une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ exprimée à l'aide du paramètre réel $t$, telle que le paramètre $t = 0$ corresponde au point $A$.
- En injectant ces expressions paramétriques dans l'équation du plan $\mathcal{P}$, déterminer la valeur exacte du paramètre $t$ correspondant au point $H$.
Saisir la valeur du paramètre $t$ correspondant au projeté orthogonal $H$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - 2y + z - 5 = 0$ et le point $A(2 ; 1 ; a)$, où $a$ est un nombre réel positif.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.
Sachant que la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $4$, déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$$2x - y + 2z - 5 = 0$$On considère également le point $A(1\,; 3\,; a)$, où $a$ est un nombre réel strictement positif.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$. La distance $AH$ est égale à $4$.
En exprimant d'abord les coordonnées de $H$ en fonction de $a$, déterminer la valeur du nombre réel $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$$2x - y + z - 4 = 0$$Soit $a$ un nombre réel et $A$ le point de coordonnées $(1\,; a\,; 5)$.
Le point $H$ est l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$. On sait que la cote du point $H$ est $z_H = 4$.
Saisir la valeur du réel $a$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$$2x - y + 2z - 3 = 0$$
Soit $A(1\,; 2\,; k)$ un point de l'espace, où $k$ est un nombre réel strictement positif ($k > 0$). On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.
On sait que la distance entre le point $A$ et le plan $\mathcal{P}$ est égale à $3$, c'est-à-dire que $AH = 3$.
Pour déterminer la valeur du paramètre $k$ :
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $A$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ en fonction de $k$.
- Calculer la longueur $AH$ en fonction de $k$ et en déduire la valeur exacte de $k$.
Saisir la valeur de $k$.