Étape 1
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - 2y + z - 5 = 0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. La droite $\mathcal{D}$ passant par $A(2 ; 1 ; a)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$ est dirigée par $\vec{n}$. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est : $$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = a + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
Étape 2
Le projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$. Ses coordonnées vérifient l'équation du plan : $$2(2 + 2t) - 2(1 - 2t) + (a + t) - 5 = 0$$ ce qui équivaut à : $$4 + 4t - 2 + 4t + a + t - 5 = 0$$ $$9t + a - 3 = 0 \quad \text{soit} \quad t = \frac{3 - a}{9}$$
Étape 3
Comme $H \in \mathcal{D}$, le vecteur $\vec{AH}$ a pour coordonnées $(2t ; -2t ; t)$. La distance $AH$ s'exprime par : $$AH = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2 + t^2} = \sqrt{9t^2} = 3|t|$$ En remplaçant $t$ par son expression en fonction de $a$ : $$AH = 3 \times \left| \frac{3 - a}{9} \right| = \frac{|3 - a|}{3}$$
Étape 4
La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ étant égale à $4$, on a $AH = 4$, ce qui équivaut à : $$\frac{|3 - a|}{3} = 4 \quad \text{soit} \quad |3 - a| = 12$$ Cette équation admet deux solutions réelles : $$3 - a = 12 \implies a = -9 \quad \text{ou} \quad 3 - a = -12 \implies a = 15$$ Comme $a$ est un réel strictement positif, on conclut que $a = 15$.
Méthode clé
Pour déterminer la distance d'un point à un plan, on cherche les coordonnées de son projeté orthogonal à l'aide d'une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan passant par ce point.
Piège à éviter
L'équation avec la valeur absolue $|3-a| = 12$ possède deux solutions : il ne faut pas oublier d'éliminer la solution négative car $a > 0$.
