Exercice : Projection orthogonale et distances

Étape 1

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Étape 2

La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et passe par le point $A(1\,; 2\,; k)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $d$. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donnée par : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = k + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Étape 3

Le projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $\mathcal{P}$. Ses coordonnées vérifient l'équation du plan : $$2(1 + 2t) - (2 - t) + 2(k + 2t) - 3 = 0$$

Étape 4

En développant cette équation, on obtient : $$2 + 4t - 2 + t + 2k + 4t - 3 = 0$$ $$9t + 2k - 3 = 0$$ Ce qui équivaut à : $$t = \frac{3 - 2k}{9}$$

Étape 5

Le vecteur $\vec{AH}$ a pour coordonnées $t\vec{n}$. Sa norme, qui correspond à la distance $AH$, est : $$AH = |t| \times \|\vec{n}\|$$

Étape 6

Calculons la norme du vecteur normal $\vec{n}$ : $$\||\vec{n}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Étape 7

On en déduit l'expression de la distance $AH$ en fonction de $k$ : $$AH = \left| \frac{3 - 2k}{9} \right| \times 3 = \frac{|3 - 2k|}{3}$$

Étape 8

Comme la distance $AH$ est égale à $3$, on obtient l'équation : $$\frac{|3 - 2k|}{3} = 3 \quad \text{soit} \quad |3 - 2k| = 9$$

Étape 9

Cette égalité avec valeur absolue donne deux équations possibles : $$3 - 2k = 9 \quad \text{ou} \quad 3 - 2k = -9$$

Étape 10

Résolvons ces deux équations : $$3 - 2k = 9 \iff -2k = 6 \iff k = -3$$ $$3 - 2k = -9 \iff -2k = -12 \iff k = 6$$

Étape 11

L'énoncé précisant que $k$ doit être strictement positif ($k > 0$), la seule valeur retenue est $k = 6$.