Étape 1
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Étape 2
Comme $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$, la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Elle admet donc $\vec{n}$ pour vecteur directeur et passe par $A(1\,; 3\,; a)$.
Étape 3
Une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est donnée par : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = a + 2t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}$$
Étape 4
Le point $H$ appartient au plan $\mathcal{P}$, ses coordonnées vérifient donc l'équation de $\mathcal{P}$ : $$2(1 + 2t) - (3 - t) + 2(a + 2t) - 5 = 0$$ Ce qui équivaut à : $$2 + 4t - 3 + t + 2a + 4t - 5 = 0$$ $$9t + 2a - 6 = 0 \iff t = \frac{6 - 2a}{9}$$
Étape 5
Le vecteur $\vec{AH}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ 2t \end{pmatrix}$. La distance $AH$ s'exprime donc par : $$AH = \sqrt{(2t)^2 + (-t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{9t^2} = 3|t|$$ En remplaçant $t$ par son expression en fonction de $a$, on obtient : $$AH = 3 \times \left|\frac{6 - 2a}{9}\right| = \frac{|6 - 2a|}{3}$$
Étape 6
On sait d'après l'énoncé que $AH = 4$, ce qui équivaut à : $$\frac{|6 - 2a|}{3} = 4 \iff |6 - 2a| = 12$$
Étape 7
Cette égalité donne deux équations possibles : $$6 - 2a = 12 \iff 2a = -6 \iff a = -3$$ $$6 - 2a = -12 \iff 2a = 18 \iff a = 9$$
Étape 8
Comme l'énoncé précise que $a$ est un réel strictement positif ($a > 0$), on conclut que $a = 9$.
Méthode clé
La droite passant par $A$ et orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur tout vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$. Son intersection avec $\mathcal{P}$ définit le projeté orthogonal $H$.
Piège à éviter
L'équation $|6 - 2a| = 12$ possède deux solutions. Il ne faut pas oublier de rejeter la valeur négative car $a > 0$.
