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5 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Problèmes de seuil et loi binomiale

Propriété : Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, l'événement « au moins un succès » vérifie $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$.

Méthode : 1. Poser $1 - (1-p)^n \ge S$. 2. Isoler $(1-p)^n \le 1 - S$. 3. Appliquer $\ln$ et diviser par $\ln(1-p) < 0$ (inversion du sens de l'inégalité).

Exemple : Pour $p = 0{,}1$ et $S = 0{,}99$ : $0{,}9^n \le 0{,}01 \iff n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}7$, d'où $n \ge 44$.

Loi géométrique et premier succès

Définition : Soit $X$ le rang du premier succès dans une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ sur $\mathbb{N}^*$.

Propriété : Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$ et $P(X > k) = (1-p)^k$. Son espérance vaut $E(X) = \frac{1}{p}$.

Exemple : Lancer de dé ($p = \frac{1}{6}$) : la probabilité du 1ᵉʳ six au 3ᵉ lancer est $P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} \approx 0{,}116$.

Loi de Poisson et événements rares

Définition : La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ ($\lambda > 0$) modélise un nombre d'événements rares. Pour $k \in \mathbb{N}$, $P(X = k) = \mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$.

Propriété : Si $X_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n$ grand et $p$ petit, la loi $\mathcal{B}(n, p)$ s'approxime par $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda = n p$. $E(X) = V(X) = \lambda$.

Exemple : Pour $\mathcal{B}(1000 ; 0{,}002) \approx \mathcal{P}(2)$ : $P(X = 0) \approx \mathrm{e}^{-2} \frac{2^0}{0!} = \mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}135$.

★ Standard

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ de paramètres $n$ (entier naturel non nul) et $p = 0{,}2$.

On sait que la probabilité de n'obtenir aucun succès est égale à $0{,}512$, c'est-à-dire que $P(X=0) = 0{,}512$.

En exprimant $P(X=0)$ en fonction de $n$, déterminer la valeur du nombre d'épreuves $n$.

Saisir la valeur de $n$.
★★ Avancé

On considère une expérience aléatoire consistant à répéter $4$ fois de manière indépendante une même épreuve ayant deux issues : le succès avec une probabilité $p \in ]0 ; 1[$ et l'échec.

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus à l'issue des $4$ épreuves.

On sait que la probabilité d'obtenir exactement $3$ succès est égale au quadruple de la probabilité d'obtenir exactement $1$ succès.

Saisir la valeur de $p$ sous la forme d'une fraction irréductible a/b.
★★★ Challenge

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4)$.

On sait qu'il existe un entier naturel $k$ ($0 \le k \le n-2$) vérifiant les deux égalités suivantes :

$$P(X = k+1) = \frac{22}{15} P(X = k)$$

et

$$P(X = k+2) = \frac{10}{9} P(X = k+1)$$

Saisir la valeur de $n$.
Approfondissement ★★★ Challenge

On considère une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $p \in ]0 ; 1[$. On note $X$ la variable aléatoire représentant le rang du premier succès.

Rappel : Pour tout entier $k \ge 1$, la probabilité d'obtenir le premier succès au rang $k$ est $P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$, et la probabilité d'obtenir au moins un succès au cours des $k$ premiers essais est $P(X \le k) = 1 - (1-p)^k$.

On considère la fonction Python suivante :

def simulation_seuil(p):
    k = 1
    prob = p
    while prob < 0.5:
        k = k + 1
        prob = 1 - (1 - p)**k
    return k

On sait que la probabilité d'obtenir le premier succès exactement au deuxième essai est $P(X = 2) = \dfrac{2}{9}$, et que l'instruction simulation_seuil(p) renvoie la valeur $2$.

Saisir la valeur de $p$ sous la forme d'une fraction irréductible a/b.
Approfondissement ★★★ Challenge

On considère une suite de tirages modélisés par une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n, \dfrac{2}{n}\right)$ pour tout entier $n \ge 4$.

Pour $n \ge 4$, on note $w_n$ le quotient des probabilités de réaliser exactement $4$ succès et $3$ succès, c'est-à-dire :

$$w_n = \dfrac{P(X_n = 4)}{P(X_n = 3)}$$

On désigne par $w_\infty$ la limite de la suite $(w_n)_{n \ge 4}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Par une démonstration théorique complète, déterminer le plus petit entier $n_0 \ge 4$ à partir duquel la valeur de $w_n$ approche sa limite $w_\infty$ à moins de $0{,}05$ près, c'est-à-dire tel que $|w_n - w_\infty| < 0{,}05$.

Saisir la valeur de l'entier $n_0$.