Exercice : Problèmes de seuil et lois avancées

Étape 1

Soit $n \ge 4$. La variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n, \dfrac{2}{n}\right)$. On exprime les probabilités $P(X_n = 3)$ et $P(X_n = 4)$ : $$P(X_n = 3) = \binom{n}{3} \left(\dfrac{2}{n}\right)^3 \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{n-3}$$ $$P(X_n = 4) = \binom{n}{4} \left(\dfrac{2}{n}\right)^4 \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{n-4}$$

Étape 2

En formant le quotient $w_n = \dfrac{P(X_n = 4)}{P(X_n = 3)}$, les termes en puissance se simplifient : $$w_n = \dfrac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}} \times \dfrac{2}{n} \times \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{-1}$$ Or, $\dfrac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}} = \dfrac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \dfrac{n-3}{4}$. De plus, $\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{-1} = \dfrac{n}{n-2}$. On en déduit : $$w_n = \dfrac{n-3}{4} \times \dfrac{2}{n} \times \dfrac{n}{n-2} = \dfrac{n-3}{2(n-2)}$$

Étape 3

Pour déterminer la limite $w_\infty$, on étudie le comportement asymptotique de $w_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ : $$w_n = \dfrac{n-3}{2n-4}$$ Comme il s'agit d'un quotient de deux polynômes de degré $1$, la limite en $+\infty$ est donnée par le rapport de leurs coefficients dominants. D'où : $$w_\infty = \lim_{n \to +\infty} w_n = \dfrac{1}{2}$$

Étape 4

On étudie maintenant l'écart entre $w_n$ et sa limite $w_\infty$ : $$w_n - w_\infty = \dfrac{n-3}{2(n-2)} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{n - 3 - (n - 2)}{2(n-2)} = \dfrac{-1}{2(n-2)}$$ Par conséquent, $|w_n - w_\infty| = \dfrac{1}{2(n-2)}$. La condition $|w_n - w_\infty| < 0{,}05$ s'écrit : $$\dfrac{1}{2(n-2)} < \dfrac{1}{20}$$ Comme $n \ge 4$, la quantité $2(n-2)$ est strictement positive. L'inéquation est donc équivalente à : $$2(n-2) > 20$$ ce qui équivaut à $n - 2 > 10$, soit $n > 12$.

Étape 5

Le plus petit entier $n_0 \ge 4$ vérifiant $n > 12$ est $n_0 = 13$.