Exercice : Problèmes de seuil et lois avancées

Étape 1

Pour tout entier naturel $k$ tel que $0 \le k \le n$, la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4)$ donne :

Étape 2

$$P(X = k) = \binom{n}{k} (0{,}4)^k (0{,}6)^{n-k}$$

Étape 3

Exprimons le rapport des probabilités pour deux succès consécutifs $k$ et $k+1$ :

Étape 4

$$\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac{\binom{n}{k+1} (0{,}4)^{k+1} (0{,}6)^{n-k-1}}{\binom{n}{k} (0{,}4)^k (0{,}6)^{n-k}}$$

Étape 5

En simplifiant les puissances et les coefficients binomiaux grâce à la propriété $\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \frac{n-k}{k+1}$, on obtient :

Étape 6

$$\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1} \times \frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{n-k}{k+1} \times \frac{2}{3}$$

Étape 7

D'après la première égalité de l'énoncé, ce rapport vaut $\frac{22}{15}$. On écrit donc :

Étape 8

$$\frac{n-k}{k+1} \times \frac{2}{3} = \frac{22}{15}$$

Étape 9

Ce qui équivaut à $\frac{n-k}{k+1} = \frac{22}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{11}{5}$. En développant le produit en croix, on obtient :

Étape 10

$$5(n-k) = 11(k+1) \quad \text{soit} \quad 5n - 16k = 11 \quad \text{(Équation 1)}$$

Étape 11

Appliquons la même relation au rapport $\frac{P(X = k+2)}{P(X = k+1)}$ en remplaçant $k$ par $k+1$ :

Étape 12

$$\frac{n-(k+1)}{(k+1)+1} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{9}$$

Étape 13

Ce qui équivaut à $\frac{n-k-1}{k+2} = \frac{10}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{3}$. En développant le produit en croix, on obtient :

Étape 14

$$3(n-k-1) = 5(k+2) \quad \text{soit} \quad 3n - 8k = 13 \quad \text{(Équation 2)}$$

Étape 15

Pour résoudre le système formé par les équations (1) et (2), multiplions l'équation (2) par $2$ :

Étape 16

$$6n - 16k = 26$$

Étape 17

En soustrayant membre à membre l'équation (1) de cette nouvelle équation, on élimine $k$ :

Étape 18

$$(6n - 16k) - (5n - 16k) = 26 - 11$$

Étape 19

On en déduit directement que $n = 15$.