Exercice : Problèmes de seuil et lois avancées

Étape 1

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès lors de la répétition de $n = 4$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques de paramètre $p$. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(4, p)$.

Étape 2

Pour tout entier $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, l'expression de la loi binomiale s'écrit : $$P(X = k) = \binom{4}{k} p^k (1-p)^{4-k}$$ En particulier, pour $k = 3$ et $k = 1$ : $$P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 (1-p)^1 = 4 p^3 (1-p)$$ $$P(X = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1-p)^3 = 4 p (1-p)^3$$

Étape 3

L'énoncé indique que $P(X = 3) = 4 \times P(X = 1)$. On traduit cette condition par l'équation suivante : $$4 p^3 (1-p) = 4 \times 4 p (1-p)^3$$ Ce qui se simplifie en divisant par $4$ : $$p^3 (1-p) = 4 p (1-p)^3$$

Étape 4

Comme $p \in ]0 ; 1[$, les termes $p$ et $1-p$ sont strictement positifs. On peut donc diviser chaque membre de l'égalité par la quantité non nulle $p(1-p)$ : $$p^2 = 4 (1-p)^2$$ Les deux membres étant strictement positifs, le passage à la racine carrée donne : $$p = 2(1-p)$$ $$p = 2 - 2p$$ $$3p = 2$$

Étape 5

D'où $p = \frac{2}{3}$. Cette valeur appartient bien à l'intervalle $]0 ; 1[$, c'est donc la probabilité recherchée.