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4 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Taille d'échantillon avec Bienaymé-Tchebychev

Propriété : Pour garantir $P(\vert{}M_n - \mu\vert{} \ge \varepsilon) \le \alpha$, une condition suffisante est $\frac{V(X)}{n\varepsilon^2} \le \alpha$, c'est-à-dire $n \ge \frac{V(X)}{\alpha \varepsilon^2}$.

Méthode : 1. Identifiez la précision $\varepsilon$ et le risque $\alpha$. 2. Posez la condition suffisante $\frac{V(X)}{n\varepsilon^2} \le \alpha$. 3. Isolez $n \ge \frac{V(X)}{\alpha \varepsilon^2}$ et arrondissez à l'entier supérieur.

Inégalités de Bienaymé-Tchebychev et concentration

Propriété : Soit $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et $M_n$ la moyenne d'échantillon de taille $n$. Pour tout $\delta > 0$ : - $P(\vert{}X - \mu\vert{} \ge \delta) \le \frac{V(X)}{\delta^2}$ - $P(\vert{}M_n - \mu\vert{} \ge \delta) \le \frac{V(X)}{n\delta^2}$

Exemple : Pour $V(X) = 2$, $\delta = 1$ et $n = 100$ : $P(\vert{}M_{100} - \mu\vert{} \ge 1) \le \frac{2}{100 \times 1^2} = 0{,}02$.

Estimation et concentration d'une fréquence

Définition : L'estimation consiste à approcher une proportion inconnue $p$ par la fréquence $f_n$ observée sur un échantillon de taille $n$.

Propriété : Comme $V(f_n) \le \frac{1}{4n}$, la concentration garantit que pour tout $\varepsilon > 0$ : $P(\vert{}f_n - p\vert{} \ge \varepsilon) \le \frac{1}{4n\varepsilon^2}$.

★ Standard

Soit $Y$ une variable aléatoire de moyenne $\mu$ et de variance $V(Y) = 5$. On considère la moyenne empirique $M_n$ d'un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $Y$.

On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ d'observations garantissant que la probabilité que $M_n$ s'écarte de $\mu$ d'au moins $1$ soit inférieure ou égale à $0{,}02$.

  1. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, exprimer en fonction de $n$ une majoration de la probabilité $P(|M_n - \mu| \ge 1)$.
  2. Par une condition suffisante sur cette majoration, déterminer la valeur minimale de l'entier $n$.

Saisir la valeur minimale de l'entier $n$.
★★ Avancé

On considère la fonction suivante rédigée en langage Python :

def taille_minimale(V, delta, p_seuil):    n = 1    while V / (n * delta**2) > p_seuil:        n += 1    return n

Déterminer la valeur renvoyée lors de l'exécution de l'appel taille_minimale(9, 1.5, 0.04).

Saisir la valeur renvoyée par la fonction.
★★★ Challenge

On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est définie par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{c|ccc}x_i & -3 & 1 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{array}$$

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$. On note $M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ la moyenne arithmétique de cet échantillon et $\mu$ l'espérance de $X$.

Pour garantir que la probabilité d'un écart $|M_n - \mu| \ge \epsilon$ soit d'au plus $0{,}02$, la majoration usuelle obtenue à partir de la variance de $X$ donne la condition minimale $n \ge 10\,000$.

Saisir la valeur du paramètre de précision $\epsilon$.
Approfondissement ★★★ Challenge

Dans un modèle de physique décrivant la diffusion d'une particule sur un axe gradué, la particule subit à chaque seconde $k \ge 1$ un déplacement aléatoire $X_k \in \{-2, 2\}$, indépendant des déplacements précédents.

La probabilité d'un déplacement de $+2$ est égale à $0{,}75$ et celle d'un déplacement de $-2$ est égale à $0{,}25$. On note $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ la position de la particule après $n$ secondes ($n \ge 1$).

On cherche à déterminer le nombre minimal de secondes $n_0$ à partir duquel la probabilité que la position $S_n$ s'écarte de sa valeur moyenne théorique $E(S_n)$ de plus de $10\%$ de cette valeur moyenne est garantie inférieure ou égale à $0{,}01$.

Par une justification théorique complète s'appuyant sur l'inégalité de concentration du cours, déterminer la valeur minimale de cet entier $n_0$.

Saisir la valeur entière de $n_0$.