Exercice : Concentration et loi des grands nombres

Étape 1

Étape 1 : Calcul de l'espérance et de la variance de $X$.
L'espérance de $X$ est égale à :$$E(X) = (-3) \times 0{,}25 + 1 \times 0{,}5 + 5 \times 0{,}25 = -0{,}75 + 0{,}5 + 1{,}25 = 1$$L'espérance du carré $X^2$ est donnée par :$$E(X^2) = (-3)^2 \times 0{,}25 + 1^2 \times 0{,}5 + 5^2 \times 0{,}25 = 9 \times 0{,}25 + 1 \times 0{,}5 + 25 \times 0{,}25 = 2{,}25 + 0{,}5 + 6{,}25 = 9$$D'après la formule de Koenig-Huygens, la variance de $X$ vaut :$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 9 - 1^2 = 8$$

Étape 2

Étape 2 : Majoration de la probabilité par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Pour un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, la moyenne $M_n$ a pour espérance $E(M_n) = \mu = 1$ et pour variance $V(M_n) = \frac{V(X)}{n} = \frac{8}{n}$.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $\epsilon > 0$ :$$P(|M_n - 1| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{n \epsilon^2} = \frac{8}{n \epsilon^2}$$

Étape 3

Étape 3 : Détermination de la précision $\epsilon$.
Pour garantir que cette probabilité ne dépasse pas le risque $\alpha = 0{,}02$, il suffit que le majorant vérifie :$$\frac{8}{n \epsilon^2} \le 0{,}02$$Ce qui équivaut en isolant $n$ à :$$n \ge \frac{8}{0{,}02 \times \epsilon^2} = \frac{400}{\epsilon^2}$$La taille d'échantillon minimale fournie par cette majoration est donc $n_{\text{min}} = \frac{400}{\epsilon^2}$.
D'après l'énoncé, $n_{\text{min}} = 10\,000$. On résout l'équation :$$10\,000 = \frac{400}{\epsilon^2} \iff \epsilon^2 = \frac{400}{10\,000} = 0{,}04$$Comme le seuil de précision $\epsilon$ est un nombre strictement positif, on conclut :$$\epsilon = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2$$