Étape 1
Soit $X_k$ le déplacement de la particule à la seconde $k$. La variable aléatoire $X_k$ prend ses valeurs dans $\{-2, 2\}$ avec $P(X_k = 2) = 0{,}75$ et $P(X_k = -2) = 0{,}25$.
Étape 2
Calculons l'espérance de $X_k$ : $$E(X_k) = 2 \times 0{,}75 + (-2) \times 0{,}25 = 1{,}5 - 0{,}5 = 1$$
Étape 3
Calculons ensuite l'espérance du carré $X_k^2$ : $$E(X_k^2) = 2^2 \times 0{,}75 + (-2)^2 \times 0{,}25 = 4 \times 0{,}75 + 4 \times 0{,}25 = 4$$
Étape 4
On en déduit la variance de $X_k$ par la formule de Koenig-Huygens : $$V(X_k) = E(X_k^2) - (E(X_k))^2 = 4 - 1^2 = 3$$
Étape 5
La position de la particule $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ est la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi. Par linéarité de l'espérance et additivité de la variance pour des variables indépendantes : $$E(S_n) = n \times E(X_1) = n$$ $$V(S_n) = n \times V(X_1) = 3n$$
Étape 6
Un écart de plus de $10\%$ par rapport à la valeur moyenne $E(S_n) = n$ correspond à une déviation au moins égale à $0{,}10 \times n = 0{,}1n$. L'événement étudié s'écrit $|S_n - n| \ge 0{,}1n$.
Étape 7
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable $S_n$ pour le seuil $\delta = 0{,}1n > 0$ : $$P(|S_n - n| \ge 0{,}1n) \le \frac{V(S_n)}{(0{,}1n)^2}$$
Étape 8
En remplaçant $V(S_n)$ et $(0{,}1n)^2 = 0{,}01n^2$, le majorant devient : $$\frac{3n}{0{,}01n^2} = \frac{300}{n}$$
Étape 9
Pour garantir que la probabilité soit inférieure ou égale à $0{,}01$, il suffit d'imposer : $$\frac{300}{n} \le 0{,}01$$ Ce qui équivaut à $n \ge \frac{300}{0{,}01}$, soit $n \ge 30000$.
Étape 10
Le nombre minimal de secondes recherché est donc $n_0 = 30000$.
Méthode clé
Pour une somme $S_n$ de $n$ variables indépendantes et de même loi, utiliser $E(S_n) = n E(X_1)$ et $V(S_n) = n V(X_1)$, puis poser l'inégalité $P(|S_n - E(S_n)| \ge \delta) \le \frac{V(S_n)}{\delta^2}$.
Piège à éviter
Oublier d'élever l'écart $\delta = 0{,}1n$ au carré dans le dénominateur de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
