Exercice : Concentration et loi des grands nombres

Étape 1

Soit $M_n$ la moyenne empirique de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $Y$. La variance de $M_n$ est donnée par : $$V(M_n) = \frac{V(Y)}{n} = \frac{5}{n}$$

Étape 2

En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire $M_n$ avec $\epsilon = 1$, on obtient : $$P(|M_n - \mu| \ge 1) \le \frac{V(M_n)}{1^2} = \frac{5}{n}$$

Étape 3

Pour garantir que la probabilité $P(|M_n - \mu| \ge 1)$ soit inférieure ou égale à $0{,}02$, il suffit de imposer la condition suffisante : $$\frac{5}{n} \le 0{,}02$$

Étape 4

Comme $n$ est un entier strictement positif, cette inéquation équivaut à : $$n \ge \frac{5}{0{,}02}$$

Étape 5

Or, on calcule : $$\frac{5}{0{,}02} = \frac{500}{2} = 250$$

Étape 6

La valeur minimale de l'entier $n$ cherchée est donc $250$.