Exercice loi binomiale, probabilite, parametre — Problèmes de seuil et lois avancées (Terminale Spécialité)

★ Standard

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ de paramètres $n$ (entier naturel non nul) et $p = 0{,}2$.

On sait que la probabilité de n'obtenir aucun succès est égale à $0{,}512$, c'est-à-dire que $P(X=0) = 0{,}512$.

En exprimant $P(X=0)$ en fonction de $n$, déterminer la valeur du nombre d'épreuves $n$.

Saisir la valeur de $n$.

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Réponse finale

Étape 1

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; 0{,}2)$.

Étape 2

D'après la formule du cours, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on a : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Étape 3

En appliquant cette formule pour $k = 0$, sachant que $\binom{n}{0} = 1$ et $p^0 = 1$, on obtient : $$P(X=0) = (1 - p)^n$$

Étape 4

En remplaçant $p$ par $0{,}2$, il vient : $$P(X=0) = (1 - 0{,}2)^n = 0{,}8^n$$

Étape 5

D'après l'énoncé, $P(X=0) = 0{,}512$. On résout donc l'équation : $$0{,}8^n = 0{,}512$$

Étape 6

Calculons les premières puissances de $0{,}8$ :

Étape 7

Pour $n = 1$ : $0{,}8^1 = 0{,}8$

Étape 8

Pour $n = 2$ : $0{,}8^2 = 0{,}64$

Étape 9

Pour $n = 3$ : $0{,}8^3 = 0{,}512$

Étape 10

On conclut que le nombre d'épreuves est $n = 3$.

Méthode clé

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, la probabilité de n'obtenir aucun succès est donnée par $P(X=0) = (1-p)^n$.

Piège à éviter

Confondre la probabilité de succès $p$ et la probabilité d'échec $1-p$ lors de l'application de la formule.

Exercice : Problèmes de seuil et lois avancées