Exercice : Projection orthogonale et distances

Étape 1

D'après l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 6 = 0$, un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est :

Étape 2

$$\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Puisque $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$, la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent, le vecteur $\vec{HA}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$.

Étape 4

Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{HA}$ :

Étape 5

$$\vec{HA}\begin{pmatrix} a - 1 \\ -2 - 0 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Étape 6

Il existe donc un nombre réel $k$ tel que $\vec{HA} = k\vec{n}$, ce qui se traduit par le système :

Étape 7

$$\begin{cases} a - 1 = 2k \\ -2 = -k \\ 4 = 2k \end{cases}$$

Étape 8

La deuxième équation donne immédiatement $k = 2$ (ce qui est compatible avec $4 = 2 \times 2$).

Étape 9

En remplaçant $k$ par $2$ dans la première équation, on obtient :

Étape 10

$$a - 1 = 2 \times 2 = 4$$

Étape 11

d'où :

Étape 12

$$a = 5$$