Exercice : Projection orthogonale et distances

Étape 1

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + z - 4 = 0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Étape 2

La droite passant par $A(1\,; a\,; 5)$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur $\vec{n}$. Une représentation paramétrique de cette droite est :

Étape 3

$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = a - t \\ z = 5 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Étape 4

Le point $H$ appartenant à cette droite, ses coordonnées sont de la forme $(1 + 2t\,; a - t\,; 5 + t)$ pour une certaine valeur du réel $t$.

Étape 5

Comme la cote du point $H$ est $z_H = 4$, on a l'égalité $5 + t = 4$, soit $t = -1$.

Étape 6

En remplaçant $t = -1$ dans les expressions de l'abscisse et de l'ordonnée de $H$, on obtient $x_H = 1 + 2(-1) = -1$ et $y_H = a - (-1) = a + 1$.

Étape 7

Le point $H(-1\,; a+1\,; 4)$ appartient au plan $\mathcal{P}$, donc ses coordonnées vérifient son équation cartésienne :

Étape 8

$$2(-1) - (a + 1) + 4 - 4 = 0$$

Étape 9

Ce qui donne $-2 - a - 1 = 0$, soit $-a - 3 = 0$, d'où $a = -3$.