Exercice : Projection orthogonale et distances

Étape 1

D'après l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P} : 1x + 2y - 2z + 15 = 0$, les coefficients devant $x$, $y$ et $z$ fournissent directement les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ à $\mathcal{P}$ : $$\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Étape 2

La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$, donc $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. De plus, $\mathcal{D}$ passe par le point $A(1\,; 4\,; 3)$. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est donc : $$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 3 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ Pour $t = 0$, on retrouve bien le point $A(1\,; 4\,; 3)$.

Étape 3

Le projeté orthogonal $H$ est le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$. Ses coordonnées vérifient donc l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. En remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ : $$(1 + t) + 2(4 + 2t) - 2(3 - 2t) + 15 = 0$$

Étape 4

En développant soigneusement chaque terme : $$1 + t + 8 + 4t - 6 + 4t + 15 = 0$$ $$9t + 18 = 0$$ Ce qui équivaut à : $$9t = -18$$ $$t = -2$$ La valeur du paramètre $t$ correspondant au projeté orthogonal $H$ est $-2$.