Étape 1
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ comme produit et composées de fonctions continues.
Étape 2
Pour tout réel $x \in [0 \,;\, 1]$, posons $u(x) = x^2 + 1$. La fonction $u$ est dérivable et $u'(x) = 2x$. On peut alors réécrire $f(x)$ sous la forme : $$f(x) = \frac{k}{2} \times 2x(x^2 + 1)^2 = \frac{k}{2} u'(x) (u(x))^2$$
Étape 3
Une primitive $F$ de $f$ sur $[0 \,;\, 1]$ est donc donnée par : $$F(x) = \frac{k}{2} \times \frac{(u(x))^3}{3} = \frac{k}{6} (x^2 + 1)^3$$
Étape 4
Calculons les valeurs aux bornes : $$F(1) = \frac{k}{6} (1^2 + 1)^3 = \frac{k}{6} \times 8 = \frac{8k}{6}$$ $$F(0) = \frac{k}{6} (0^2 + 1)^3 = \frac{k}{6} \times 1 = \frac{k}{6}$$
Étape 5
Par définition du calcul d'intégrale, on obtient : $$\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = F(1) - F(0) = \frac{8k}{6} - \frac{k}{6} = \frac{7k}{6}$$
Étape 6
D'après l'énoncé, la valeur de cette intégrale est égale à $14$. Ce qui équivaut à : $$\frac{7k}{6} = 14$$ En multipliant chaque membre par $6$, on obtient $7k = 84$, d'où $k = 12$.
Méthode clé
Identifier la forme $u' u^n$ avec $u(x) = x^2 + 1$ pour déduire une primitive de la forme $\frac{1}{n+1} u^{n+1}$.
Piège à éviter
Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ lors de la recherche de la primitive, car la dérivée de $x^2+1$ est $2x$ et non $x$.
