Étape 1
Recherchons d'abord les points d'intersection des courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Pour tout réel $x \ge 0$, l'égalité $f(x) = g(x)$ équivaut à : $$k x = x^2$$ Ce qui équivaut à $x^2 - k x = 0$, soit $x(x - k) = 0$. Puisque $k > 0$, les deux points d'intersection ont pour abscisses $x = 0$ et $x = k$.
Étape 2
Étudions la position relative des deux courbes sur l'intervalle $[0 ; k]$. Pour tout $x \in [0 ; k]$, on a : $$f(x) - g(x) = k x - x^2 = x(k - x)$$ Comme $x \ge 0$ et $x \le k$, les facteurs $x$ et $k - x$ sont tous deux positifs ou nuls. Ainsi, $f(x) \ge g(x)$ sur $[0 ; k]$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur cet intervalle.
Étape 3
L'aire $\mathcal{A}(k)$ du domaine fermé délimité par les deux courbes est donc donnée par l'intégrale : $$\mathcal{A}(k) = \int_{0}^{k} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{k} (k x - x^2) \, \mathrm{d}x$$ Une primitive de la fonction $x \mapsto k x - x^2$ sur $[0 ; k]$ est la fonction $F$ définie par : $$F(x) = k \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$$
Étape 4
Calculons la valeur de l'intégrale en fonction de $k$ : $$\mathcal{A}(k) = F(k) - F(0) = \left( k \frac{k^2}{2} - \frac{k^3}{3} \right) - 0 = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}$$
Étape 5
D'après l'énoncé, l'aire du domaine est égale à 36 unités d'aire. On obtient donc l'équation : $$\frac{k^3}{6} = 36$$ Ce qui équivaut à $k^3 = 36 \times 6 = 216$. Puisque $6^3 = 216$ et que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, la seule solution réelle est $k = 6$.
Méthode clé
Pour calculer l'aire entre deux courbes sur $[a ; b]$ où $f(x) \ge g(x)$, on calcule l'intégrale de la différence : $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x$.
Piège à éviter
Oublier de déterminer rigoureusement la borne supérieure d'intégration $k$ en résolvant l'équation $f(x) = g(x)$.
