Étape 1
On pose $u(x) = 4x + 1$ et $v'(x) = e^x$. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables et leurs dérivées $u'(x) = 4$ et $v(x) = e^x$ sont continues sur $[0\,;\,1]$ (fonctions de classe $\mathcal{C}^1$).
Étape 2
D'après la formule d'intégration par parties : $$\int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$
Étape 3
On applique cette formule à l'intégrale $I$ : $$I = \left[(4x + 1) e^x\right]_0^1 - \int_0^1 4 e^x \mathrm{d}x$$
Étape 4
On calcule le terme entre crochets : $$\left[(4x + 1) e^x\right]_0^1 = (4 \times 1 + 1) e^1 - (4 \times 0 + 1) e^0 = 5e - 1$$
Étape 5
On calcule ensuite l'intégrale restante : $$\int_0^1 4 e^x \mathrm{d}x = \left[4 e^x\right]_0^1 = 4 e^1 - 4 e^0 = 4e - 4$$
Étape 6
En rassemblant les résultats, on obtient : $$I = (5e - 1) - (4e - 4) = 5e - 1 - 4e + 4 = e + 3$$
Étape 7
Par identification avec la forme $I = e + k$, on conclut que $k = 3$.
Méthode clé
Pour une intégration par parties, choisir la fonction $u$ de sorte que sa dérivée $u'$ simplifie le produit sous la seconde intégrale.
Piège à éviter
Faire une erreur de signe en distribuant le signe moins devant le second terme ou lors du calcul des bornes $e^0 = 1$.
