Exercice : Calcul d'intégrales et aires

Étape 1

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in [0 \,; 3]$ par $f(x) = \dfrac{12}{x + 1}$.

Étape 2

Pour tout $x \in [0 \,; 3]$, on a :$$0 \le x \le 3$$D'où :$$1 \le x + 1 \le 4$$La fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0 \,; +\infty[$, on obtient :$$\dfrac{1}{x + 1} \ge \dfrac{1}{4}$$En multipliant par $12 > 0$, il vient :$$f(x) = \dfrac{12}{x + 1} \ge 3$$

Étape 3

Les bornes d'intégration respectant $0 \le 3$, l'intégration conservant l'ordre donne :$$\int_{0}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x \ge \int_{0}^{3} 3 \, \mathrm{d}x$$

Étape 4

Une primitive de la fonction constante $x \mapsto 3$ est $x \mapsto 3x$. On calcule l'intégrale :$$\int_{0}^{3} 3 \, \mathrm{d}x = [3x]_{0}^{3} = 3 \times 3 - 3 \times 0 = 9$$On conclut que :$$9 \le \int_{0}^{3} \dfrac{12}{x + 1} \, \mathrm{d}x$$La valeur du réel $m$ recherché est donc $9$.