Étape 1
Puisque la fonction $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[0 ; k]$, l'aire $A(k)$ du domaine $\mathcal{D}_k$ en unités d'aire est donnée par l'intégrale :
Étape 2
$$A(k) = \int_0^k f(x) \mathrm{d}x = \int_0^k \left(\frac{1}{3}x + 2\right) \mathrm{d}x$$
Étape 3
Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est définie par :
Étape 4
$$F(x) = \frac{1}{6}x^2 + 2x$$
Étape 5
On calcule alors l'expression de l'aire $A(k)$ en fonction de $k$ :
Étape 6
$$A(k) = F(k) - F(0) = \left(\frac{1}{6}k^2 + 2k\right) - 0 = \frac{1}{6}k^2 + 2k$$
Étape 7
L'énoncé indique que l'aire du domaine vaut $18\text{ unités d'aire}$. On pose donc l'équation :
Étape 8
$$\frac{1}{6}k^2 + 2k = 18$$
Étape 9
En multipliant tous les termes par $6$, cette équation est équivalente à :
Étape 10
$$k^2 + 12k - 108 = 0$$
Étape 11
Il s'agit d'une équation du second degré. Calculons son discriminant $\Delta$ :
Étape 12
$$\Delta = 12^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 144 + 432 = 576$$
Étape 13
Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
Étape 14
$$k_1 = \frac{-12 - \sqrt{576}}{2} = \frac{-12 - 24}{2} = -18$$
Étape 15
$$k_2 = \frac{-12 + \sqrt{576}}{2} = \frac{-12 + 24}{2} = 6$$
Étape 16
Comme $k$ est un réel strictement positif ($k > 0$), la valeur $-18$ est rejetée.
Étape 17
Par conséquent, la valeur de $k$ cherchée est $6$.
Méthode clé
Calculer l'intégrale $\int_0^k f(x) \mathrm{d}x$ en fonction du paramètre $k$, puis résoudre l'équation $A(k) = S$ pour trouver la valeur inconnue.
Piège à éviter
Conserver la solution négative de l'équation du second degré alors que $k$ doit être strictement positif par énoncé.
